Tribu borélienne Article, Signification, Explication

La tribu borélienne sur un espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T qui contient tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.

La tribu de Borel peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite σ-algèbre qui contient tous les sous-ensembles fermés de T. Un sous-ensemble de T est un borélien si et seulement s’il peut être obtenu à partir d'ensembles ouverts en effectuant une suite dénombrable d'opérations d'unions, d'intersections et de passage au complémentaire.

Un exemple particulièrement important est la tribu borélienne de l'ensemble des nombres réels. Elle intervient dans la mesure de Borel et aussi dans toute probabilité. La tribu des boréliens sur l'ensemble des nombres réels est la plus petite σ-algèbre sur qui contient tous les intervalles. La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme , où ; il suffit même de considérer a dans une partie dense de comme par exemple l'ensemble des rationnels.

Plus généralement, si la topologie de T est engendrée par une famille A, stable par intersection finie, la tribu borélienne associée à T est aussi engendrée par A.

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