Théorie du chaos Article, Signification, Explication

La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques qui, bien qu'étant en principe déterministes, arborent des comportements extrêmement complexes et paraissant désordonnés, chaotiques.

Historique

Ses notions fondamentales prirent corps au sein des travaux d'Henri Poincaré qui fut, sans aucun doute, le précurseur de cette nouvelle approche qu'est la théorie du chaos. Tous ses travaux lancèrent sur de nouvelles bases les réflexions concernant le déterminisme et la prédictibilité. Henri Poincaré était reconnu comme un savant de premier plan, mais le reste du monde n'avait pas pu approfondir tous ses travaux, et cette branche-là fut provisoirement laissée en friche.

Norbert Wiener et John von Neumann se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul d'une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de petites causes qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de grands effets (il donna l'image du flocon de neige déclenchant une avalanche), Von Neumann y voyait une opportunité exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés ordinateurs: Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche, répondait-il à Wiener, alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas !. Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction. Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.

En 1963, Edward Lorenz, un météorologue du Massachusetts Institute of Technology (MIT), mit en évidence le caractère chaotique des conditions météorologiques. Alors qu'il cherchait à déterminer des conditions météorologiques futures à partir de données initiales sur son ordinateur, il constata, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la Sensibilité aux conditions initiales (déjà observée en analyse numérique dans des résolutions d'équations différentielles sur ordinateur, entre autres par Marion Créhange à l'Université de Nancy).

Il utilisa pour expliquer cette notion la métaphore suivante: le battement d'ailes d'un papillon peut (de proche en proche) provoquer une tempête aux antipodes. La découverte de Lorenz intrigua un certain nombre de physiciens et de mathématiciens. Les travaux de Poincaré connurent un regain d'intérêt et furent compris comme ils auraient dû l'être depuis longtemps. Et au début des années 1970, ils fournirent l'ossature mathématique qui allait permettre l'étude des phénomènes non-linéaires et chaotiques sous un nouveau jour.

C'est le mathématicien James A. Yorke qui a utilisé le premier le terme de « chaos ».

Description

D'après la physique newtonienne, il n'existe pas de système désordonné. Il existe toutefois des systèmes trop complexes pour que tous leurs facteurs puissent être pris en compte, ce qui revient à dire qu'ils sont désordonnés du point de vue de l'observation humaine. C'est le cas par exemple des phénomènes météorologiques. Cette complexité est due à la sensibilité du système à d'infimes divergences (inférieure à la capacité de mesure et de calcul humaine), ce qui veut dire qu'une très petite différence initiale peut totalement modifier le résultat final. La durée nécessaire pour que la différence initiale soit multipliée par 10 est appelée temps caractéristique. Il permet de savoir à quel point un système est chaotique. Les phénomènes météorologiques ont un temps caractéristique très bref, de l'ordre de la journée, alors que la rotation d'une planète autour du soleil a un temps caractèristique de plusieurs centaines de millions d'années.

Cela ne signifie toutefois pas que les systèmes chaotiques soient totalement imprévisibles. Pour les phénomènes météorologiques, malgré la complexité des facteurs permettant de prévoir mathématiquement leur évolution avec précision, on peut toutefois prédire qu'il fera en moyenne plus chaud et plus sec en été qu'en hiver, et qu'il fera plus chaud dans le Sahara qu'au Pôle Nord. Le système n'est donc pas totalement aléatoire. De la même manière, on peut observer, dans un espace à N dimensions, appelé espace de phases (inventé par Henri Poincaré), N étant le nombre de facteurs influant sur le système, que la courbe d'évolution du système reste toujours dans certaines limites maximales et minimales. Ce type de courbe a été appelé attracteur étrange par le physicien David Ruelle. Ces courbes sont en fait des fractales (Les images visibles dans cet article sont deux vues du même attracteur étrange).
On peut donc dire que les systèmes chaotiques combinent des caractéristiques déterministes et aléatoires.

Exemple

Imaginez un gravier en haut d'une colline bien ronde ou une petite bille en haut d'une énorme sphère, toutes les équations pour déterminer la trajectoire du caillou ou de la sphère sont connues. Mais si la bille est parfaitement placée au sommet, comment savoir de quel côté elle va tomber ? Il suffit d'une infime différence dans la position de départ pour changer complètement sa trajectoire.

Encore plus simple, dessinez un cercle. Puis définissez un angle à l'intérieur. Répétez cet angle n fois. Si vous calculez ce que devrait être l'angle et que vous comparez à l'angle que vous avez dessiné, il doit y avoir une énorme différence. En effet, une petite erreur de position au début et celle-ci est à chaque fois amplifiée. Si vous choisissez un angle A, avec une erreur e. L'erreur est aussi multipliée par n. Au bout d'un certain nombre de répétitions, l'erreur totale, n*e est plus importante que l'angle n*A car l'angle n*A est équivalent à n*A modulo 2 pi.

Les équations chaotiques font donc « ressortir » les lointaines décimales des conditions de départ : la position de la bille dans le premier exemple, la taille exacte de l'angle dans le second. Une infime variation des conditions de départ peut tout changer à la fin, comme le battement d'aile d'un papillon.

Si ces conditions étaient parfaitement connues dès le départ, on saurait calculer la position future. Mais dans le monde réel, les instruments sont toujours limités.

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à prédire le mouvement d'un mini-système solaire. Le but derrière cette recherche est de savoir si le système solaire est « stable » ou si un jour la terre risque de percuter une autre planète ou être éjectée du système solaire. Des calculs ont été faits en testant avec des points de départ légèrement différents des planètes actuelles pour tester les « marges ». Il a été montré que les marges sont faibles mais surtout que, hors de ses marges, le système solaire aurait été instable depuis longtemps.

Bibliographie

• Edward Lorenz. Deterministic non-periodic flow. Atmospheric Science, 20:130-141, 1963.
• Chaos et déterminisme., Points Sciences. Éditions du Seuil, 1992.

C'est un article concernant le Théorie du chaos. La page contient la signification du Théorie du chaos , Description et explication au sujet de Théorie du chaos