Théorie axiomatique des ensembles Article, Signification, Explication
La théorie des ensembles est une branche des mathématiques et de l'informatique créée principalement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. Initialement controversée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale des mathématiques modernes, puisque cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés.
Les versions formelles de la théorie des ensembles ont également un rôle fondamental à jouer, en fournissant un idéal théorique de rigueur des preuves mathématiques. En même temps que les concepts de base de la théorie des ensembles sont utilisés dans toutes les branches des mathématiques; cette théorie continue d'exister comme une branche spécifique des mathématiques, étudiée par des groupes de mathématiciens et de logicienss comparativement plus restreints. On peut aussi signaler que certains mathématiciens utilisent et encouragent d'autres approches pour les fondements des mathématiques.
Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les ensembles et leurs éléments. Un ensemble est vu comme une collection d'objets, appelés les éléments (ou membres) d'un ensemble. En mathématiques, tout objet mathématique (y compris un ensemble) peut être élément d'un ensemble. On peut donc parler de l'ensemble des entiers naturels {0,1,2,3,4,...}, de l'ensemble des nombres réels, et de l'ensemble des fonctions de variable entière à valeurs entières; mais aussi, par exemple, de l'ensemble {0, 2, } qui a comme éléments les nombres 0 et 2 et l'ensemble .
La théorie naïve des ensembles, également qualifiée d'« intuitive », a été développée en premier lieu. Par la suite, il s'est avéré que supposer que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction, menait à des paradoxes tels que le paradoxe de Russell. Pour répondre à ces problèmes, la théorie des ensembles a été reconstruite, en utilisant cette fois une approche axiomatique.
L'idée importante de Cantor, qui a fait de la théorie des ensembles un nouveau champ d'étude, a été de définir l'équipotence. Deux ensembles '\'A et B sont équipotents ou ont même cardinalité (même nombre d'éléments quand ils sont finis), s'il existe un moyen d'associer à chaque élément de A un et un seul élément de B'' et inversement.
On peut ainsi démontrer que l'ensemble des entiers naturels a la même cardinalité que l'ensemble des nombres rationnels, bien que soit un sous-ensemble propre de . Ces deux ensembles sont dits infinis dénombrables.
D'un autre côté, l'ensemble des nombres réels n'a pas la même cardinalité que ou , mais une cardinalité supérieure: il est dit indénombrable ou non dénombrable.
Cantor a donné deux preuves que n'est pas dénombrable, et la deuxième, qui utilise un argument connu sous le nom d'argument de la diagonale de Cantor, a été extraordinairement influente et a eu de nombreuses et diverses applications en logique et en mathématiques.
Cantor a approfondi la théorie et a construit des hiérarchies infinies d'ensembles infinis, les nombres ordinaux et les nombres cardinaux.
Ces constructions étaient controversées à son époque, l'opposition étant conduite par le finitiste Léopold Kronecker; mais aujourd'hui elles sont acceptées par la majorité des mathématiciens.
Le développement de la théorie des ensembles par Cantor était encore naïf dans le sens qu'il n'employait pas encore une axiomatique précise.
Après coup, nous pouvons dire que Cantor utilisait tacitement l'axiome d'extensionnalité, l'axiome de l'infini, et le schéma d'axiome de compréhension.
Cependant, ce dernier axiome conduit directement au paradoxe de Russell, quand on essaie de construire l'ensemble S = {A / A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes.
En effet, soit S appartient à lui-même, donc à S, et alors, suivant la définition de S, il n'appartient pas a lui-même, donnant une première contradiction; soit S n'appartient pas à lui-même, et alors, toujours suivant la définition de S, il doit appartenir à S, donc à lui-même; ce qui aboutit à une deuxième contradiction et un cercle vicieux.
C'est pourquoi les théoriciens des ensembles furent obligés d'abandonner soit la logique classique, soit le schéma d'axiome de compréhension non-restreint???; et pour la plupart, abandonner ce dernier était beaucoup plus raisonnable.
Bien que l'intuitionnisme ait eu une suite importante, le paradoxe continue d'exister dans la logique intuitionniste.
Il n'y a aucun paradoxe dans la logique brésilienne, mais elle était pratiquement inconnue à cette époque.
Dans le but d'éviter cela, ainsi que des paradoxes similaires, en 1908, Ernst Zermelo construisit un système d'axiomes pour la théorie des ensembles.
Dans ce système, il inclut l'axiome du choix, un axiome vraiment controversé dont il avait besoin pour prouver le théorème du bon ordre.
Ce système a été redéfini plus tard par Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem, donnant les axiomes utilisés aujourd'hui.
Une de ces raisons est que l'axiome du choix paraît évident, intuitivement vrai; tellement évident qu'il peut sembler étrange de devoir l'inclure dans les axiomes pour pouvoir démontrer certains théorèmes paraissant eux aussi intuitivement vrais.
La situation est encore compliquée par le fait que étant un axiome, donc indépendant des 7 autres axiomes, on peut créer deux sortes de mathématiques distinctes et toutes deux parfaitement valides, l'une acceptant l'axiome du choix et l'autre le rejetant (le refus d'accepter ou de rejeter cet axiome conduit à des mathématiques incohérentes).
Une autre raison est que bien que l'axiome du choix permette de faciliter certaines partie des mathématiques, son utilisation conduit à certains résultats sans relation ou parfois contraire aux conceptions usuelles et implique l'existence d'objets bizarres, contre-intuitifs.
Un des meilleurs exemples de ces étrangetés est certainement la décomposition paradoxale de Banach-Tarski qui en utilisant l'axiome du choix permet de démontrer qu'il est possible de découper une sphère en un nombre fini de morceaux et de les déplacer par une suite de mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces de traverser d'autres) pour les rassembler en formant deux copies de la sphère d'origine.
Bien que ce théorème soit nommé paradoxal et semble indiquer qu'il serait possible de violer les lois de la physique comme la loi de conservation des masses; il n'y a en fait pas de paradoxe mais simplement une complication: le théorème nous dit seulement que notre notion de volume est en fait plus compliquée que l'on ne le pense.
Une dernière raison est le fait que l'emploi de l'axiome du choix ne permet pas de faire des démonstrations constructives, c'est-à -dire qui fournit une méthode permettant d'effectuer les calculs ou de trouver une solution, mais permet seulement de montrer qu'une telle solution existe; ce que réprouvent les partisans de l'intuitionnisme.
La théorie qui se base sur les 7 axiomes originaux de Zermelo est appelée théorie de Zemerlo ou théorie Z.
Si on la complète par l'axiome de remplacement de Fraenkel, on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, ou plus simplement la théorie ZF, bien que la forme finale des axiomes soit due à Skolem.
Lorsqu'on lui adjoint l'axiome du choix, un axiome qui était plus controversé au moment de l'élaboration de ces théories qu'il ne l'est aujourd'hui, on obtient alors la théorie dite ZFC (avec C comme choix).
Un aspect important de la théorie ZFC est que tous les objets dont elle traite sont des ensembles.
En particulier, chaque élément d'un ensemble est lui-même un ensemble.
D'autres objets mathématiques familiers, tels que les nombres, doivent donc, par conséquent être définis en termes d'ensembles.
Les neuf axiomes de ZFC sont listés ci-dessous.
Strictement parlant, les axiomes de ZFC sont simplement des chaînes de symboles logiques. Ce qui suit devra donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendues?? de ces axiomes. De plus, l'axiome de séparation et l'axiome de remplacement ne sont pas réellement des axiomes mais sont des schémas infinis d'axiomes.
Chaque axiome est décrit de façon plus détaillée dans son article propre.
Voici quelques affirmations dont l'indépendance est démontrable par forcing:
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L'axiome du choix
Il y a plusieurs raisons pour lesquelles l'axiome du choix a été controversé et l'est encore aujourd'hui par certains mathématiciens travaillant en mathématiques pures et de nombreux autres travaillant en mathématiques appliquées.Les axiomes de la théorie des ensembles
Les axiomes de choix et de régularité sont actuellement toujours controversés par une minorité de mathématiciens.L'indépendance dans la théorie des ensembles
De nombreux énoncés sont indépendants de la théorie ZFC.
Cette indépendance est généralement prouvée par la méthode dite du forcing, c'est-à -dire en montrant que chaque modèle transitivement dénombrable de la ZFC (plus parfois des axiomes de grands cardinaux) peut être étendu pour satisfaire l'affirmation en question ainsi que, par une voie différente, sa négation.
Une preuve d'indépendance par forcing prouve automatiquement l'indépendance vis-à -vis des affirmations arithmétiques, des autres affirmations concrètes et des axiomes de grands cardinaux.
Note: Le principe du losange implique l'hypothèse du continu et la négation de l'hypothèse de Suslin. L'univers constructible satisfait l'hypothèse du continu généralisée, le principe du losange et l'hypothèse de Kurepa.Liens externes