Théorème des valeurs intermédiaires Article, Signification, Explication

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Alors , compris entre f(a) et f(b) compris entre et tel que .

Lorsque l'on cherche à démontrer qu'il existe une solution unique, on regarde si de plus est strictement monotone. Il est aussi possible d'utiliser le théorème de la bijection.

Application

On utilise typiquement ce théorème pour montrer que deux fonctions continues sur un même intervalle et dont la différence change de signe aux bornes de cet intervalle sont égales en au moins un point de cet intervalle.

Exemple. Soient ainsi et deux fonctions continues sur un intervalle de , admettant pour bornes et , tels que .
Posons . Si on a et , on a bien (0 est le du théorème), alors d'après ce même théorème .

Note historique

En 1875, Darboux a montré que le théorème des valeurs intermédiaires n'était pas spécifique des fonctions continues, mais était également vérifié par les fonctions dérivées.

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