Théorème de Desargues Article, Signification, Explication

Plaçons nous dans un - espace projectif de dimension ≥ 2, où désigne le corps des réels ou celui des complexes.

Considérons deux triangles ABC et A'B'C' .  Posons  a = (BC)  ,  b = (CA)  ,  c = (AB)  ,  a' = (B'C')  ,  b' = (C'A')   et   c' = (A'B')  .

• On suppose que  A ≠ A'  ,  B ≠ B'  et  C ≠ C'  pour garantir l'existence des droites projectives  (AA')  ,  (BB')   et   (CC')

• On suppose que  a ≠ a'  ,  b ≠ b'  et  c ≠ c'  pour garantir l'existence des points  Q = a ∩ a'  ,  R = b ∩ b'  et  P = c ∩ c'

Théorème n°1  :

• Si    P , Q  et  R  sont alignés sur une droite projective  ω    alors    (AA') , (BB')  et  (CC')  sont concourantes en un point  O

Théorème n°2  :

• Si    (AA') , (BB')  et  (CC')  sont concourantes en un point  O    alors    P , Q  et  R  sont alignés sur une droite projective  ω

Synthèse des deux théorèmes ( théorème de Desargues )  :

• P , Q  et  R  sont alignés sur une droite projective  ω     ssi     (AA') , (BB')  et  (CC')  sont concourantes en un point  O

Remarque  :  si est un plan projectif  alors  les théorèmes  n°1  et  n°2  sont des  théorèmes duaux

( c'est-à-dire que les points et les droites échangent leur rôle quand on passe d'un théorème à l'autre )

Vocabulaire  :  la droite projective  ω  est un  axe de perspective   et   le point  O  est un  centre de perspective

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