Théorème de d'Alembert-Gauss Article, Signification, Explication

Le théorème de d'Alembert-Gauss, encore appelé théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante :

Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps des nombres complexes a (au moins) une racine dans .

En d'autres termes, le corps des nombres complexes est algébriquement clos.

On en déduit facilement qu'un polynôme de degré se scinde en produit de polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement racines.

Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Jean le Rond d'Alembert, qui en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du XIX^e siècle.

La dénomination théorème fondamental de l'algèbre fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où sa démonstration s'appuie essentiellement sur des outils d'analyse complexe, plus précisément sur le théorème de Liouville.

Voir aussi

• Factorisation des polynômes
• Équation polynomiale
• Équation du second degré
• Théorème de Gauss

Bibiographie

• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, ISBN 0-387-94657-8

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