Tenseur métrique Article, Signification, Explication

En géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles.

Lorsqu'un système de coordonnée est choisi, le tenseur métrique apparaît comme une matrice, généralement notée G. La notation g_ij est conventionnellement utilisée pour les composants du tenseur métrique. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est défini par:

L'angle entre deux vecteurs tangentss et est définie par:

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel g_ij = δ_ij (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer le jacobien des ces équations. Le tenseur métrique est le produit de ce jacobien par sa transposée:

Exemple

Dans un espace euclidien à 2 dimensions le tenseur métrique est:

et la longueur d'une courbe vaut:

Exemples de métriques euclidiennes

Coordonnées polaires:

Coordonnées cylindriques:

Coordonnées sphériques:

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