Système arithmétique positionnel Article, Signification, Explication

La mise en place des systèmes arithmétiques positionnels, en particulier du système décimal, fut initiée par les chinois dans leur numération chinoise au II^e siècle avant J-C, puis finalisée vers l'an 500 de notre ère en Inde. Ce fut une des découvertes majeures de l'histoire des mathématiques.

Dans les systèmes arithmétiques positionnels les nombres sont d'abord exprimés en base unique, par exemple en base 10. Puis, sont définis exactement autant de chiffres à valeurs différentes que la base elle même (dix dans le Système décimal), dont un chiffre doit nécessairement exprimer la valeur nulle. Ainsi il devient possible d'exprimer tout nombre dans un système à position, qui seul permet l'utilisation généralisée des algorithmes arithmétiques et qui rend par ce fait superflu le recours à des outils analogiques comme les bouliers, donc l'abaque ou les tablettes de calcul à jetons.

Inconnue de tous les grands mathématiciens de l'Antiquité, la numération à position se révèle être indispensable pour les mathématiques modernes. Dans l'Antiquité, on utilisait exclusivement des systèmes nombreux non-positionnels, dont l'exemple le plus connu est la numération romaine où le nombre trente-huit par exemple, s'écrit à l'aide de pas moins de sept chiffres (XXXVIII), tandis que le nombre cinquante, se contente d'un seul (L). Il est clair, que dans un tel système de notation, une simple opération comme une addition, voire une multiplication, se révèle pratiquement impossible à effectuer sans boulier ou autre outil de calcul.

Table of contents

1 Bases de numération 2 Conversion d'un nombre en base 10 en base N 3 Conversion d'un nombre en base N en base 10 4 Anecdotes

Bases de numération

Une base de numération est un entier supérieur ou égal à 2. Soit N une base de numération, le système de numération est doté de N chiffres allant de 0 à N-1.

Le système de numération le plus couramment utilisé est le système décimal (base 10), fondé sur les mathématiques indiennes, mais d'autres systèmes ont été ou sont utilisés, par exemple en informatique, où on se sert parfois du système binaire (base 2), plus souvent du système octal (base 8) et très souvent du système hexadécimal (base 16). Dans ce dernier cas, les chiffres supérieurs à 9 sont représentés par les lettres de A à F. Boby Lapointe avait eu une intuition comique d'un tel système qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.

Les Babyloniens utilisaient le système sexagésimal (base 60), ainsi que les Indiens et les Arabes en trigonométrie et encore aujourd'hui dans la mesure du temps et des angles. Le système vicésimal (ou vigésimal, base 20) a été utilisé par les Gaulois, les Mayas et les Basques. Certains historiens estiment que la civilisation de la vallée de l'Indus utilisait initialement un système octal.

Enfin, le système impérial d'unités utilisés dans les pays anglo-saxons est, partiellement, duodécimal.

Conversion d'un nombre en base 10 en base N

Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.

1. Effectuer la division entière de K par N. Soit D le résultat de cette division et R le reste
2. Si D > N, recommencer en 1
3. Sinon, l'écriture en base N de K est égal à la concaténation du dernier résultat et de tous les restes en commençant par le dernier.

Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16

• 3257 = 203 × 16 + 9
• 203 = 12 × 16 + 11

Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est

Conversion d'un nombre en base N en base 10

Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c×N ^r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.

Exemple
Le nombre « 10110 » en base 2 s'écrit en base 10 :

1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 22 (base 10)

Exemple
Le nombre « 3FA » en base 16 s'écrit en base 10 :

3×16² + 15(F)×16¹ + 10(A)×16⁰ = 1 018 (base 10)

Anecdotes

• L'écriture « 121 » représente le carré de 11 dans toutes les bases supérieures ou égales à 3 ;
• le système de numération Shadok est à base 4 et formé des nombres ga, bu, zo et meu. Après quoi les Shadoks ne comptent plus et mettent le tout dans une grande poubelle, ce qui correspond au principe même de la numération de position ;
• le système babylonien à base 60 a survécu dans notre façon de subdiviser les heures et les degrés, tous deux en minutes et secondes. Par convention, le deux-points est l'indicateur de numérotation sexagésimale. Ainsi, 13h20mn15s s'écrit aussi 13:20:15 ;
• dans le vocabulaire français, il reste quelques traces d'un système de numération en base 20 : le nombre 97 se lit en Suisse nonante-sept alors qu'en France, il se lit quatre-vingt-dix-sept, c'est-à-dire 4 vingtaines et 17 unités. On retrouve aussi cet usage dans le nom de l'hôpital des Quinze-Vingts qui comportait 15 vingtaines de lits (300 lits).Consulter Nombres en français pour plus de détails.

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