Suite (mathématiques) Article, Signification, Explication
Le présent article concerne la suite en tant que concept mathématique. Voir suite pour les autres sens.
En mathématiques, une suite d'un ensemble est une famille d'éléments de indexée par l'ensemble des entiers naturels ou par une partie de . Autrement dit une suite est une application de vers ou de vers .
De manière vulgarisée, on pourrait dire qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre.
Cas particuliers :
- si , alors la suite est dite réelle,
- si , alors la suite est dite complexe,
- si est une partie finie, alors la suite est dite finie.
Ainsi, les images de sont notées .
On dit que est le terme de rang , ou d'indice de la suite .
Nous notons en général la suite : qui est donc une application.
Lorsque , nous notons plus simplement la suite : .
Lorsque , nous pouvons noter la suite ou encore .
L'ensemble des suites d'éléments de , indexées par une partie de se note ou .
Notations
Soit une partie de .
Soit une suite d'éléments de . Nous notons , l'image de l'entier par .Remarque
Nous ne devons pas confondre la suite avec l'ensemble des valeurs de la suite qui est l'image directe de par . Par exemple, considérons la suite , l'ensemble des valeurs de la suite est .Exemples
La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :
Pour des raisons de commodité, pour tout élément de on identifie et la suite :
Posons ; est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par:
Somme des termes d'une suite
Si est un groupe, on note :
ou
la somme :
Exemples de suites
Suite arithmétique
Définition
Si est un groupe, la suite est dite arithmétique si, il existe un élément de appelé raison tel que, pour tout on ait :
Exemple
Si la raison et :Propriété 1
Si est un groupe et est une suite arithmétique de de raison alors, pour tout :Propriété 2
Si est un espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de et est une suite arithmétique de alors, pour tout :Suite géométrique
Définition
est un corps. La suite est dite géométrique s'il existe un élément de appelé raison tel que, pour tout on ait :
- soit : pour ,
- soit : pour tout .
Exemple
Si la raison et ,Propriété 1
Si est un corps et est une suite géométrique de de raison alors, pour tout :Propriété 2
Si est un corps et est une suite géométrique de de raison avec alors, pour tout :Suites arithmético-geométriques
Remarque surprenante : tous les termes de cette suite sont des entiers naturels
La notion de limite d'une suite est classique en topologie, et la convergence est un cas particulier de limite ; on verra la différence plus loin. Moralement, l'idée est qu'une suite a une certaine limite lorsque ses points se rapprochent de la valeur limite lorsque l'indice devient grand.
Dans la suite, on se penchera surtout sur le cas -- relativement exemplaire -- des suites réelles et complexes ; pour cela, nous considérerons deux suites : et deux suites de ou de .
Une suite est dite divergente si elle ne converge pas.
Mais pour les suites réelles, il existe deux cas particuliers de divergence. La divergence vers et celle vers .
Dans la suite, nous considérerons deux suites : et deux suites de .
Définition
On dit que est une suite arithmetico-geométrique lorsque :
On dit aussi que est une suite affine récurrente du premier ordre à coefficients constantsPropriété 1
si
alors on a :
Remarques
Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients constants
Définition
On dit que est une suite linéaire du second ordre à coefficients constants lorsque
Théorème
On note l'ensemble des suites de vérifiant la relation
Alors car vérifie toujours la relation et donc appartient Ã
On appelle l'équation équation caractéristique associée à la relation de récurrence d'ordre 2 :
L'ensemble est alors :
Exemple : la suite de Fibonacci
Il s'agit d'une suite récurrente du second ordre définie par
L'équation caractéristique associée est :
Les deux solutions de l'équation sont :
L'ensemble des solutions est alors :
D'après les conditions initiales, on peut déterminer et :
On en déduit alors :
Il vient donc :
Convergence et limite
Définition :
On dira que la suite est convergente vers lorsque pour tout , il existe tel que pour tout , :
On dit alors que tend vers , et on le note :
Propriété 1 : Somme de limites
Si et alors :
et
Propriété 2 : Produit de limites
Si et alors :Propriété 3 : Quotient de limites
Si et avec alors :Explications :
Ces trois propriétés signifient, concrètement, que si deux suites sont convergentes, les limites des suites : somme, produit ou quotient sont convergentes, vers la somme, le produit ou le quotient des limites. La convergence se comporte « amicalement » vis à vis des 4 opérations.Exemples :
Divergence
Cas particulier des suites de et Définition 1 :
On dira que la suite est divergente vers lorsque pour tout , il existe tel que pour tout , :
On dit alors que tend vers , et on le note :
Définition 2 :
On dira que la suite est divergente vers si, pour tout , il existe tel que pour tout , :
On dit alors que tend vers , et on le note :
Exemples :
Propriété 1 : Addition et divergence vers l'infini
Suivant la divergence de et , la suite somme diverge suivant les valeurs du tableau suivant :
| + | |||
| non défini | |||
| non défini | |||
Propriété 2 : Multiplication et divergence vers l'infini
Suivant, la divergence de et , la suite produit diverge (ou converge) suivant les valeurs du tableau suivant :
On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante (strictement ou non).
Si est croissante (resp. décroissante) et majorée par (resp. minorée par ), alors est convergente et .
Si :
On dit que la valeur l est une valeur d'adhérence de la suite si et seulement s’il existe une suite extraite de qui converge vers l.
Dans le cas où E est un espace compact, on dispose même d'une réciproque:
On voit d'ailleurs bien comment généraliser ce résultat: il faut en fait que les exctractrices considérées recouvrent entièrement (par exemple, ici, et )
Toujours si E est un espace compact, on dispose du puissant théorème de Bolzano-Weierstrass. Typiquement, on l'applique si est à valeurs dans un segment de :
Suites monotones :
Définition 1 : suite croissante
On dira que la suite est croissante lorsque :
Définition 2 : suite strictement croissante
On dira que la suite est strictement croissante lorsque :
Exemple :
Propriété 1 : critère de croissance
Définition 3 : suite décroissante
On dira que la suite est décroissante lorsque :
Définition 4 : suite strictement décroissante
On dira que la suite est strictement décroissante lorsque :
Exemples :
Propriété 2 : critère de décroissance
Propriété 3 : monotonie et convergence
L'axiome de la borne supérieure, permet de démontrer facilement :Corollaire :
alors :
Convergence : Cas des suites d'un espace topologique
Définition :
Soit un espace muni d'une topologie . On note l'ensemble des ouverts contenant .
On dira que la suite est une suite convergente vers si :
, tel que , .Suites de Cauchy
Dans ce paragraphe, on supposera que est un espace métrique. Voir aussi Suite de Cauchy.Définition 1 :
Une suite est dite de Cauchy lorsque : , tels que : , , et Propriété 1 :
Toute suite convergente est une suite de Cauchy.Piste de démonstration :
Résulte immédiatement de l'inégalité triangulaire.Propriété 2 :
Toute suite de Cauchy est bornée.Suites adjacentes
Deux suites réelles et sont dites adjacentes lorsque :
Propriété 1 :
Si deux suites réelles et sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite .
de plus en supposant croissante et décroissante on a :Suites extraites, valeurs d'adhérence
Définitions
Soit une suite à valeurs dans un espace métrique .
Si est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite .
Grosso modo, c'est la suite pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).
Pour se faire une idée, une valeur d'adhérence est un réel « près duquel la suite passe souvent », c'est-à -dire qu'aussi loin qu'on aille, on trouvera toujours un terme de la suite près de ce réel.Propriété 1
Soit une suite à valeurs dans E.
Si converge vers , l est l'unique valeur d'adhérence de , c'est-à -dire que toutes les suites extraites convergent vers Propriéte 2
Soit une suite à valeurs dans un espace métrique compact, qui ne possède qu'une unique valeur d'adhérence l. Alors est convergente de limite l.Propriété 3
Soit une suite à valeurs dans E.
converge vers si et seulement si :
Remarque
Cette propriété est utile pour démontrer la non convergence d'une suite :
si on considère une suite à valeurs dand E et si :
Alors ne converge pas
Exemple
La suite : est décomposable en deux sous-suites :
Les deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, la suite initiale ne converge pas. Par contre, -1 et 1 sont des valeurs d'adhérence de Théorème de Bolzano-Weierstrass
Si est une suite à valeurs dans un espace métrique compact E, alors admet une valeur d'adhérence dans
E.Suites équivalentes
Définition
Soient et deux suites à valeurs réelles.
et sont équivalentes si et seulement si
On note alors
Remarque
Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si Suites prépondérantes
Définition
Soient et deux suites à valeurs réelles.
On dit que est négligeable devant si et seulement si :
Exemple
Considérons et
Posons
On a alors :
D'où