Sous-groupe Article, Signification, Explication

Voir aussi : sous-groupe (biologie)

Étant donné un groupe G muni d'une loi *, nous disons qu'un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G, si H est un groupe pour la restriction de * à H. (La même définition tient plus généralement lorsque G est un semi-groupe arbitraire, mais dans cet article nous ne parlerons que des sous-groupes d'un groupe.)

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. De plus, l'élément neutre de H est égal à celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G.

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis (ensemble ordonné) complété pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même.

Si S est un sous-ensemble de G, alors il existe un sous-groupe minimal contenant S; il est noté <S> et est dit engendré par S. Les éléments de <S> sont tous des produits finis d'éléments de S et de leurs symétriques. Les groupes engendrés par un seul élément sont dits cycliques et sont isomorphes à où désigne l'ensemble des entiers relatifs, ou à où désigne l'ensemble des entiers modulo n pour un entier strictement positif n (voir arithmétique modulaire).

Ordre d'un élément d'un groupe: Étant donné un élément x de G, l'ordre du sous-groupe cyclique est appelé ordre de x; c'est le plus petit entier strictement positif n tel que xⁿ = e.

Étant donnés un sous-groupe H et un élément g de G, nous définissons la classe à gauche g*H = {g*h / h dans H}. Comme g est symétrisable, l'ensemble g*H a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H; l'ensemble des classes à gauche sont des classes d'équivalence correspondant aux classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g₁ ~ g₂ si et seulement si g₁^-1 * g₂ appartient à H. Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté [G : H].

Le théorème de Lagrange affirme que

[G : H] |H| = |G|

où |G| et |H| désignent les cardinaux respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors le cardinal de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.

Les classes à gauche sont définies de manière analogue: H*g = {h*g / h dans H}. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur cardinal est égal à [G : H]. Si pour tout g dans G, g*H = H*g, alors H est appelé un sous-groupe distingué ou normal. Dans ce cas nous définissons une multiplication sur les classes par

  (g1*H)*(g2*H) = (g1*g2)*H

Cela donne à l'ensemble des classes une structure de groupe; ce groupe est appelé groupe quotient (ou parfois groupe des facteurs) noté G/H. Il y a un homomorphisme naturel f : G → G/H défini par f(g)=g*H. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe e*H=H.

En général, un homomorphisme de groupe f: G → K envoie les sous-groupes de G sur des sous-groupes de K. Aussi, l'image réciproque (ou contre-image) de tout sous-groupe de K est un sous-groupe de G. Nous appelons l'image réciproque du groupe trivial {e} de K le noyau de l'homomorphisme et le désignons par ker(f).(ker est l'abréviation de kern ou kernel qui signifient noyau en français). Il s'ensuit que, le noyau est toujours distingué et l'image directe f(G) de G est toujours isomorphe au quotient G/ker(f) (premier théorème d'isomorphisme).

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G, la borne inférieure de deux sous-groupes est leur intersection et la borne supérieure le sous-groupe produit.

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