Série statistique à deux variables Article, Signification, Explication
Il arrive fréquemment que l'on observe conjointement deux caractères statistiques pour déterminer s'il existe une corrélation entre les deux (âge et taille des enfants entre 0 et 20 ans, prix du m² et année, allongement du ressort et force appliquée, etc.)
| Table of contents |
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2 Caractéristiques numériques 3 Représentation graphique 4 Ajustement 5 Voir aussi |
| Note de l'année | 8 | 9 | 7 | 15 | 12 | 12 | 10 | 8 |
| Note à l'examen | 7 | 9 | 4 | 17 | 13 | 15 | 9 | 13 |
| Note de l'année | 11 | 11 | 7 | 8 | 11 | 11 | 12 | 12 |
| Note à l'examen | 14 | 9 | 11 | 10 | 9 | 12 | 17 | 12 |
| Note de l'année | 7 | 9 | 9 | 5 | 9 | 5 | 10 | 4 |
| Note à l'examen | 8 | 15 | 12 | 7 | 14 | 12 | 11 | 7 |
Exemple 2: Masse appliquée (en gramme) et longueur du ressort (en cm).
| Masse en grammes | 7 | 10 | 18 | 20 | 5 | 24 | 12 | 3 |
| Longueur en cm | 8.5 | 9 | 10.5 | 11 | 8 | 11.8 | 9.4 | 7.5 |
Caractéristiques numériques
On peut étudier séparément chaque caractère statistique et calculer leur moyenne et , médiane, quartile, écart type et , variance V(x) et V(y) .
On aura besoin de définir des quantités qui font intervenir conjointement les deux caractères:
- la covariance cov(x,y) =
- le coefficient de corrélation linéaire r =
Représentation graphique
Chaque couple de réels définit un point de coordonnées . L'ensemble de ces points s'appelle un nuage de points. Il arrive que deux points aient les mêmes coordonnées, ils seront alors représentés par un point dont la surface sera deux fois celle des autres.
On peut aussi placer le point moyen. C'est le point G dont les coordonnées sont
Le nuage de points est un bon indicateur pour vérifier une corrélation entre les caractères x et y. Si les points sont sous la forme d'un nuage, il est fort à parier que les phénomènes ne sont pas corrélés. S'ils semblent dessiner une courbe, on cherchera à déterminer la nature de la courbe en procédant à un ajustement.
Exemple 1: Nuage de points donnant la note à l'examen en fonction de la moyenne de l'année.
Exemple 2: Nuage de points donnant la longueur du ressort en fonction de la masse appliquée.
Les points semblent alignés. On va donc tenter un ajustement affine.
La droite d'ajustement a pour équation:
Cette ajustement est considéré comme valide si le coefficient de corrélation linéaire r est en valeur absolue supérieur Ã
Exemple du ressort
La droite de régression a pour équation y = 0,2x + 7 et le coefficient de corrélation est pratiquement égal à 1. On peut donc affirmer sans trop d'erreur que l'allongement du ressort est proportionnel à la masse appliquée (lois de déformation élastique). Le fait que les points ne soient pas exactement alignés provient des erreurs ou imprécisions des mesures.
Si la droite d'ajustement a pour équation z = ax + b, cela signifie que ln(y) = ax+b. Il existe donc une relation exponentielle entre y et x:
Ajustement
Ajustement affine
Si les points semblent alignés, on détermine la droite d'ajustement grâce à une régression linéaire.
Elle passe par le point moyen G.Ajustement exponentielle
Si les points semblent dessiner une exponentielle, il n'est pas adéquat de tenter un ajustement affine. Pour vérifier la corrélation exponentielle, il est bon de tracer un nouveau nuage de point de coordonnées , ou bien de tracer le nuage de points dans un repère semi-logarithmique. Si les points semblent alignés, on peut tenter un ajustement affine de en fonction de .
Les formules de régression linéaire donnent
- pour a.
- pour K.
Exemple 3 : Evolution de l'actif net d'une mutuelle de 1988 à 1997 (d'après bac Nouvelle Calédonie décembre 2000).
| année depuis 1900 : | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 |
| Actif net en milliards d'Euros: | 5,89 | 6,77 | 7,87 | 9,11 | 10,56 | 12,27 | 13,92 | 15,72 | 17,91 | 22,13 |
| 1,7733 | 1,9125 | 2,0631 | 2,2094 | 2,358 | 2,5072 | 2,6333 | 2,7549 | 2,8854 | 3,0969 |
L'ajustement affine de z en fonction de x conduit à l'équation z = 0,143x - 10,313 avec un coefficient de corrélation voisin de 1.
On peut donc affirmer que l'évolution de l'actif semble être une fonction exponentielle de l'année:
Tracé du nuage et de l'ajustement exponentiel
Ajustement sous forme de puissance
Il est possible aussi que la relation soit sous forme de puissance. Le phénomène est difficile à voir sur le nuage de point. Si on soupçonne une corrélation du type puissance, on trace le nuage des points de coordonnées , ou bien on trace le nuage de points de coordonnées dans un repère log-log. Si les points paraissent alignés on tente une régression linéaire de en fonction de .
Si la droite d'ajustement a pour équation z = at + b, cela signifie que ln(y) = aln(x)+b. Il existe donc une relation en puissance entre y et x:
- pour a.
- pour K.
Exemple: Etude de la période de certaines planètes en fonction du demi-grand axe de leur trajectoire.
| Planète | demi grand axe a en m | période T en | ln(a) | ln(T) |
| Mercure | 57,9 | 7,59 | 4,059 | 2,025 |
| Venus | 108,2 | 19,36 | 4,684 | 2,863 |
| Terre | 149,6 | 31,47 | 5,008 | 3,449 |
| Mars | 227,9 | 59,19 | 5,429 | 4,081 |
| Jupiter | 778,3 | 373,32 | 6,657 | 5,992 |
Une représentation du nuage de points dans un repère log-log présente des points presque alignés.
Un ajustement linéaire de ln(T) en fonction de ln(a) conduit à l'équation :
- ln(T) = 1,5ln(a) - 4,062
Ce qui conduit à la relation suivante:
- conforme avec la troisième loi de Kepler
Voir aussi
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