Relation d'équivalence Article, Signification, Explication

La notion de relation d'équivalence sur un ensemble permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété.

On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient.

Table of contents

1 Relation d'équivalence 2 Classe d'équivalence 3 Ensemble quotient 4 Exemples 5 Voir aussi

Relation d'équivalence

Soit un ensemble et une partie de . On dit que est une relation d'équivalence sur si les trois axiomes suivants sont vérifiés :

1. (Réflexivité)
2. (Symétrie)
3. (Transitivité)

En général, on note pour dire que et on dit que « x est en relation avec y ».

Classe d'équivalence

• On se donne maintenant un élément . On appelle alors classe d'équivalence de et on note l'ensemble .
• La classe d'équivalence de est donc un ensemble non-vide (car il contient ) comprenant tous les éléments de E qui sont en relation avec . L'ensemble des classes d'équivalence de forme une partition de .

Ensemble quotient

On appelle ensemble quotient de par la relation d'équivalence et on note l'ensemble :. L'ensemble quotient est donc un nouvel ensemble construit à partir de et de .

Pour désigner de , on peut encore parler de l'ensemble quotienté par ou de considéré modulo la relation d'équivalence . L'idée étant qu'on ne fait plus la différence entre les éléments équivalents selon .

Exemples

• L'égalité sur un ensemble quelconque de nombres (entiers, rationnels, réels, complexes) est une relation d'équivalence.
• Le parallélisme sur un ensemble de droites (dans un plan) est une relation d'équivalence.
• Si est une application de dans un ensemble , alors la relation est une relation d'équivalence sur . Ainsi toute application induit une relation d'équivalence sur son ensemble de départ.
• Le fait d'être égales presque partout pour des fonctions sur un espace mesuré est une relation d'équivalence qui joue un rôle important dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. En effet deux fonctions égales presque partout ont le même comportement dans cette théorie.

Voir aussi

• relation d'ordre

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