Quaternion Article, Signification, Explication
Les quaternions, notés , sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombres réels aux nombres complexes.
Ils ont été inventés par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Carl Friedrich Gauss et au siècle précédent Leonhard Euler. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres complexes dans le plan à deux dimensions et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions.
Après des années de recherches sur la construction d'une algèbre avec des « triplets » de trois nombres réels, il butait sur la multiplication, et en particulier la conservation des normess (Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877 qu'une telle multiplication de triplets était impossible à définir).
Il eut alors l'idée d'utiliser des « quadruplets » en employant une dimension supplémentaire. Il put ainsi définir une multiplication avec les bonnes propriétés. Celle-ci peut se résumer à cette table de multiplication :
| · | 1 | i | j | k |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
Où tout quaternion H s'ecrit sous la forme: H = a + b·i + c·j + d·k (avec a, b, c, d des nombres réels). Il peut alors également s'écrire: H = z + z'·j (avec z et z' des nombres complexes de la forme a + b·i)
| Table of contents |
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2 Propriétés mathématiques 3 Applications 4 La notation (u,V) 5 Les similitudes de l'espace et les quaternions 6 Voir aussi 7 Liens externes |
Les quaternions furent inventés par l'irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton recherchait des manières d'étendre les nombres complexes (qui peuvent être assimilés à des points d'un plan) à des dimensions plus élevées de l'espace. Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois mais la dimension quatre produisit les quaternions.
Selon ses dires, il marchait un jour dehors le long du canal royal, avec son épouse quand la solution sous forme de relations i2 = j2 = k2 = ijk =-1 lui apparut soudainement à l'esprit. Il grava alors promptement ces relations avec un couteau dans une pierre du pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge) à Dublin.
Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.
Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».
Histoire
Découverte
Au-delà des quaternions
À la fin de l'année 1843 John Graves et Arthur Cayley découvrent indépendamment une algèbre de dimension huit : les octonions. Celle-ci n'est plus associative. On peut ainsi créer une infinité d'algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l'algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter:
| n | 2n | nom | limite |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | réels | - |
| 1 | 2 | complexess | perte de la comparaison |
| 2 | 4 | quaternions | perte de la commutativité |
| 3 | 8 | octonions | perte de l'associativité |
| 4 | 16 | sédénions | perte de l'alternativité |
Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro (x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0), ce qui implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.
Propriétés mathématiques
Relatives aux autres classes de nombres
L'algèbre des quaternions n'est plus commutative, mais partiellement anticommutative : 1 · i = i · 1 = i mais i · j = k et j · i = -k.
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Cette non commutativité est d'ailleurs tout à fait compatible avec une interprétation géométrique des quaternions, par exemple les rotations vectorielles du plans sont commutatives mais celle de l'espace ne le sont pas:
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Produit
Le produit de 2 quaternions et , noté est défini comme suit :Conjugaison
On définit le conjugué (noté ) d'un quaternion de composante a, b, c, d par :
- q = a - b i - c j - d k
- q.q =( a + b i + c j + d k ) . ( a - b i - c j - d k )
- = a+b+c2+d2
- = a+b+c2+d2
Inverse
L'inverse d'un quaternion est :
Applications
Alors que cela est discutable en dimensions trois, les quaternions ne peuvent pas être employés dans d'autres dimensions ( bien que des extensions comme celles des biquaternions et des algèbres de Clifford soient utilisables ). De toute façon, la notion de vecteur avait presque universellement remplacé celle des quaternions en science et en technologie dans le milieu du XXe siècle.
Aujourd'hui, les quaternions trouvent leur place en infographie, en théorie de la commande, dans le traitement du signal, dans la commande de mouvement et la mécanique orbitale, principalement pour représenter les rotations et les orientations en dimension trois. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions. La raison est qu'effectuer beaucoup d'opérations sur les quaternions est numériquement plus stable que d'effectuer beaucoup d'opérations sur les matrices.
Le quaternion Q = u∙1 + x∙i + y∙j + z∙k peut être décomposé en couple formé d'un réel u et d'un vecteur V de ³ dont les coordonnées sont (x,y,z).
On écrit Q=(u,V).
Cela permet de définir le conjugué Q*=(u,-V), le produit scalaire de deux quaternions (a,A).(b,B)=ab+A.B et la norme d'un quaternion:
Soit un quaternion Q=(u,V) quelconque, notons q=||Q|| et v=||V||. Si ces réels positifs sont non nuls, on peut écrire :
Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple sont respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs orthogonaux à V. Et cette écriture permet de construire la multiplication des quaternions grâce à la composition des similitudes de RxRxR comme on peut le voir ici
Pour démystifier les quaternions nous allons faire un petit détour instructif par la géométrie élémentaire et en particulier par les similitudes dans l'espace.
Une similitude dans ³ est entièrement définie par la donnée d'un axe de rotation (un vecteur unitaire V) d'un angle 2φ défini à 2kπ près et d'un rapport d'homothétie k, un réel strictement positif. L'effet d'une similitude sur tous les vecteurs peut-être vu grossièrement comme un vissage en expansion.
Voyage et trajets
Plus précisément l'image d'un vecteur V est obtenu d'abord par une multiplication de ce vecteur par k, suivi par une rotation autour de l'axe d'un angle 2φ. Cette rotation s'éffectue par l'extrémité du vecteur sur un cercle (C) orthogonal et centré sur l'axe, suivant un angle 2φ.
Or sur ce cercle il y a deux façons d'effectuer le trajet. Soit en utilisant un arc soit son complémentaire. Et ces arcs ne peuvent être distingués par la seule mesure 2φ+2kπ. C'est cette difficulté que résout le quaternion. Brutalement un quaternion c'est une similitude qui distingue les trajets que peut emprunter la rotation associée.
Si pour un voyage vous avez deux trajets possibles, la distinction se fera par des villes intermédiaires v et v. Et vous parlerez très vite du trajet v et du trajet v, en sous-entendant les villes de départ et d'arrivée. En suivant cette image, il faut donc trouver des points intermédiaires sur les deux arcs.
À mi-chemin
Les points situés à mi-chemin sont parfaits pour cette mission. En effet si je divise l'angle de vecteurs 2φ+2kπ par 2, j'obtiens deux angles φ+2kπ et φ-π+2kπ. En utilisant donc la rotation d'axe V et d'angle φ+2kπ je définis une ville étape différente de celle que j'obtiens avec la rotation φ-π+2kπ.
Ainsi la similitude sim(V,2φ,k) définit deux trajets (appelés quaternions) quat(V,φ,k) et quat(V,−π+φ,k).
Le formalisme
Le triplet (V,φ,k) peut se réduire très facilement en un couple de la forme (kcos(φ),ksin(φ)∙V)équivalent. Et en utilisant des vecteurs a et b orthogonaux à V, il est facile de montrer que ce couple prend la forme (a.b,a^b). Ainsi, notre ville étape nous permet de revenir à des opérations très simples sur des vecteurs. Et comme ces opérations sont bien fournies en propriétés remarquables, nous pourrons définir une multiplication et une addition des quaternions. Vous pouvez « voir » ces deux opérations sur les quaternions ici : http://www.alcys.com
C'est un article concernant le Quaternion. La page contient la signification du Quaternion , Description et explication au sujet de Quaternion La notation (u,V)
V/v est un vecteur normé et de plus (u/q)²+(v/q)²=1. Il en découle qu'il existe un angle φ et un vecteur normé U=V/v qui permettent l'écriture Q = q(cos φ , sin φ∙U).Les similitudes de l'espace et les quaternions
Voir aussi
Liens externes