Puissance (mathématiques élémentaires) Article, Signification, Explication
L'étude élémentaire des puissances se fait dans le cadre de l'algèbre élémentaire.
La notion de puissance est un cas particulier de celle de produit : par exemple le produit a × b × c est le résultat de la multiplication entre les nombres a, b et c.
La puissance d'exposant entier strictement positif d'un nombre réel est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois ; par exemple la puissance cubique du nombre a, notée a3, est le produit a × a × a. En somme la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l'addition.
On introduit ensuite les puissances d'exposant entier strictement négatif d'un nombre réel non nul, inverses des puissances d'exposant entier strictement positif de ce nombre réel.
Par exemple : si a est un nombre réel non nul, .
Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10-5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.
| Table of contents |
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2 Puissance à exposant nul 3 Puissance à exposant négatif 4 Opérations algébriques sur les puissances 5 Puissances de dix |
On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée an et lu « a puissance n », est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :
Pour tout nombre réel a non nul, on pose par convention que a0 = 1.
En revanche, pour les multiplicationss et les divisionss de puissances on sait que, pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :
Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un
nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc, multiplier par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite et diviser par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi
L'utilisation des puissances de 10 intervient
où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre compris entre 1
et 10 avec une puissance de 10
C'est un article concernant le Puissance (mathématiques élémentaires). La page contient la signification du Puissance (mathématiques élémentaires) , Description et explication au sujet de Puissance (mathématiques élémentaires) Puissance à exposant positif
n étant un nombre positif, car entier naturel, an est une puissance à exposant entier positif de a.
On notera que a1 = a.
On appelle a2 la puissance carrée, ou le carré, de a.
On appelle a3 la puissance cubique, ou le cube, de a.
Attention, une puissance à exposant positif n'est pas forcément un nombre positif ; par exemple (- 2)3, puissance cubique de - 2, est bien une puissance à exposant positif, car l'exposant 3 est un entier naturel, mais (-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8<0.
On remarque facilement que quelque soit l'entier naturel n non nul, 0n = 0.Puissance à exposant nul
En fait cette égalité est acceptable aussi pour a = 0. On démontre en effet, dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles et des nombres cardinaux, que 00 = 1; contrairement à ce que croient beaucoup de personnes mal informées, cette dernière égalité est utile, sans contradictions et surtout elle est vraie !Puissance à exposant négatif
On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a-n, lu « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à -dire :
-n est l'exposant de la puissance a-n.
-n étant négatif, car n est un entier naturel, a-n est une puissance de a à exposant négatif.
On notera, en particulier, que a-1 = 1/a ( l'inverse du nombre a ).
Attention, comme précédemment, une puissance de a à exposant négatif n'est pas forcément négative ; par exemple 3-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, est bien une puissance à exposant négatif, car -4 est un entier négatif, mais :
Opérations algébriques sur les puissances
Il n'y a pas de formule générale sur les additionss ou les soustractionss de puissances sauf la factorisation de et le développement de .
pour tout non nul
pour tout non nul
Ces formules sont encore valables si m et/ou n sont des entiers strictement négatifs à condition que a, comme b, soit non-nul.
On remarque que la convention « a0 = 1 pour tout nombre réel a » est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre réel a non nul :
.
et
On remarquera qu'en prenant a = 0 et n = 0, les égalités précédentes restent vraies.
Cela illustre le fait que l'égalité 00 = 1 ne devrait plus effrayer personne en ce début de XXIe siècle !Puissances de dix
Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissances. Leur
intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.
Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.
325,72 = 3×102 + 2×10 + 5 + 7×10-1 + 2×10-2
325,72 = 3,2572×102
325,72 = 325,72