Produit vectoriel Article, Signification, Explication

Le produit vectoriel est le résultat d'une multiplication vectorielle dans l'espace euclidien E₃ orienté de dimension trois. Cette notion a été théorisée dans les années 1880 par Josiah Willard Gibbs à partir des travaux de Hermann Günther Grassmann.

Table of contents

1 Définition 2 Notation 3 Propriétés 4 Double produit vectoriel 5 Voir aussi

Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs et se définit comme l'unique vecteur tel que :

• si et sont colinéaires,
• dans le cas contraire :
  • est orthogonal aux deux vecteurs donnés,
  • est de sens direct,
  • ,

Notation

Deux notations sont en concurrence pour le produit vectoriel. On utilise spécialement en France le V renversé ( ) initié par Cesare Burali-Forti, mais qui a le gros défaut d'être en conflit avec la notation du produit extérieur. La notation par une croix ( ), due à Josiah Willard Gibbs, qui a elle le gros défaut d'être en conflit avec le produit de deux nombres et le produit direct. Les Anglo-saxons négligent d'ailleurs l'appellation vector product au profit de cross product. Pour ne pas créer de confusions inutiles et pour contribuer à imposer la notation anglo-saxonne, nous utiliserons le symbole ( ) et nous l'appellerons croix-produit.

Propriétés

La multiplication vectorielle est distributive sur l'addition, compatible avec la multiplication par un scalaire et anticommutative.

Dans une base orthonormale directe :

• Les vecteurs sont  parallèles ou colinéaires ,   ,  si et seulement si  leur produit vectoriel est nul ,  .

Double produit vectoriel

Ces égalités prouvent que la multiplication vectorielle n'est pas associative.

Voir aussi

• produit mixte
• produit scalaire
• Déterminant de deux vecteurs

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