Produit cartésien Article, Signification, Explication
La notion de produit cartésien repose avant tout sur celle de couple, ou plus généralement de n-uplet. Cette notion permet implicitement d'ordonner les éléments d'un ensemble. Il est alors possible d'introduire la notion de somme disjointe (ou somme cartésienne).
| Table of contents |
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2 Produit cartésien de deux ensembles 3 Généralisation à plus de deux ensembles 4 Somme disjointe ou cartésienne 5 Voir aussi |
Pour deux objets a et b donnés, le couple contenant a et b est noté ( a, b ).
Nous allons suivre le point de vue historique et considérer dans un premier temps cette notion comme une notion primitive.
Les objets a et b sont respectivement appelés les premières et deuxièmes composantes de ( a, b ).
L'essence de la notion de couple réside dans la propriété fondamentale suivante : deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles :
Notion de couple
Cette propriété est à rapprocher du lemme SP2 d'égalité des paires (voir l'article « Ensemble »). Nous constatons que pour les couples, c et d
ne sont pas interchangeables, contrairement à ce qui se passe pour les paires.
Ceci est confirmé par le corollaire suivant : les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques ; leur ordre a de l'importance :
Par ailleurs, tels qu'ils sont définis, les couples ne peuvent avoir pour composantes que des ensembles, pas des univers. Nous verrons plus loin un moyen de tourner cette limitation.
Pour tout objet A et tout objet B, il existe un ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :
Produit cartésien de deux ensembles
L'existence de cet ensemble découle de celle de .
L'unicité de P pour A et B donnés est garantie par l'Axiome d'extensionnalité.
Cet ensemble est noté A×B (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B :
- .
En règle générale, B×A ≠A×B. Plus précisément : A×B = B×A ⇔ A = B.
Remarque : A×A est noté A2 (lire « A au carré ») et appelé carré cartésien de A :
Le produit cartésien d' un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide.
Note : Il est possible de définir des produits cartésiens infinis, mais, pour le faire nous avons besoin d'une définition du produit cartésien plus profonde.
Dans une réunion d'ensembles A ∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme { α }×A et { β }×B, où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « Ø » et « { Ø } » , ou « 0 » et « 1 ».
La somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles est ainsi définie par :
La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles :
C'est un article concernant le Produit cartésien. La page contient la signification du Produit cartésien , Description et explication au sujet de Produit cartésien Généralisation à plus de deux ensembles
Triplets
Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :
Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :
Produit cartésien de trois ensembles
Il est défini par :
D'après ce qui précède, A×B×C = (A×B)×C.
LÃ encore l'ordre des termes est important.
Le produit A×A×A est appelé cube cartésien de A et il est noté A3 (lire « A au cube ») :
Les produits cartésiens furent développés pour la première fois par René Descartes dans le contexte de la géométrie analytique.
Si désigne l'ensemble de tous les nombre réels, alors 2 = × représente le plan euclidien et 3 = × × représente l'espace euclidien tri-dimensionnel.n-uplets
Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
Somme disjointe ou cartésienne
La notation préfixée met en évidence que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples, la notion peut s'appliquer aux univers. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés. Plus précisément, si on rencontre un couple dont l'une des composantes est un univers, il s'agit d'un abus d'écriture : le couple est en réalité une somme disjointe.
Et plus généralement :
Cela permet de généraliser l'abus d'écriture précédent : si on rencontre un n-uplet dont l'une des composantes est un univers, il s'agit en réalité d'une somme disjointe de n classes (univers ou ensembles).Voir aussi