Paradoxe Article, Signification, Explication
On nomme paradoxe une affirmation apparemment vraie qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou au moins une situation qui contredit l'intuition commune. Les paradoxes basés sur des concepts simples ont toutefois amené à de grands progrès en sciences, philosophie ou mathématiques.
Présentation
Étymologiquement, para doxa signifie « opposé au sens commun ». À l'origine, un paradoxe est une idée qui va contre le sens commun. Le concept de contradiction, qui est l'usage courant du terme aujourd'hui, n'est apparu que plus tard.
Cinq autres paradoxes liés à la relativité restreinte sont présents dans l'article qui lui est consacré, sous la désignation de petites expériences de pensée.
Les paradoxes sont ici regroupés pour commodité de lecture (travail en cours) en quatre classes principales : logiques, physiques, mathématiques, probabilistes. Il va de soi que cette classification est arbitraire (logique et probabilités font partie des mathématiques, et la physique comme la théorie de la connaissance les utilisent), mais si elle vous permet de retrouver plus vite le paradoxe que vous recherchez, son but est atteint.
Les paradoxes cités sont accompagnés de leur résolution lorsque celle-ci est connue.
« Le bon sens, quoi qu'il fasse, ne peut manquer de se laisser surprendre à l'occasion. Le but de la science est de lui épargner cette surprise et de créer des processus mentaux qui devront être en étroit accord avec le processus du monde extérieur, de façon à éviter, en tout cas, l'imprévu » - (Bertrand Russell).
(Voir Zénon d'Élée, paradoxes de Zénon)
« Il est impossible qu'Achille rattrape une tortue devant lui : pendant un court temps t, la tortue avance de x et Achille de X. Puis pendant le temps t/2, La tortue avance de x/2 et Achille de X/2 et ainsi de suite. De même, une flèche tirée d'un arc n'atteindra jamais un arbre ».
Quiconque connait les sommes de suites géométriques saura que cette série converge et qu'il n'y a pas de paradoxe. Juste un moment de rencontre facilement calculable.
Plus précisément, une illusion de paradoxe est créée si l'on opère une confusion entre :
Ce qu'on ne peut fixer, c'est un numéro donné d'itération du processus qui donnera le temps exact, même si ce temps et en ce qui le concerne déterminé avec toute la précision que l'on voudra. Il s'agit d'un exemple classique de confusion de la carte et du territoire (voir Sémantique générale).
Notons au passage que le processus utilisé pour la description est conçu de façon à ne pas permettre la considération d'un quelconque moment postérieur à la rencontre, et présente donc une version du réel amputée par construction (à l'instar, justement, d'une carte).
Épiménide le crétois / Euboulide de Milet
« Je mens en ce moment même ». Si la phrase est vraie, alors c'est qu'elle est fausse. Mais si elle est fausse, alors elle devient vraie !
Cela indique simplement qu'une phrase ne peut se prendre elle-même pour énoncé que lorsque cela conduit à une situation stable, et pas dans les autres cas. (voir pangramme autodescriptif).
Euathlos était un élève pauvre de Protagoras qui lui avait permis de suivre son enseignement
à la condition suivante : si Euathlos gagne son premier procès, il doit impérativement rembourser Protagoras, en revanche s'il perd,
l'enseignement de Protagoras n'ayant pas porté ses fruits, ce dernier ne doit rien réclamer à son ancien élève. Finalement, c'est Protagoras lui-même qui assigne Euathlos en procès ! Ainsi, dit-il : « si je suis vainqueur, il me faut recevoir de l'argent, parce que je suis vainqueur, et si c'est toi, de même il m'en faut recevoir, parce que tu l'es, et d'après notre accord. »
Dans les deux cas de figure Protagoras se voyait remboursé de son enseignement... pourtant Euathlos se défendit en disant : « si je perds ce procès, je ne te dois rien, d'après notre accord, et si je le gagne, je ne te dois rien, d'après le jugement. » En définitive, comment doit-on juger ce conflit ?
La réponse ne fait plus aucun doute aujourd'hui : l'œuf est apparu quelques millions d'années avant la poule. Les dinosaures pondaient des œufs à une époque où n'existait pas encore la moindre poule.
Mais sans doute le lecteur voudra-t-il savoir ce qui est apparu le premier, de la poule ou de l'œuf de poule. Il ne tiendra qu'à lui alors de préciser s'il définit un œuf de poule comme un œuf pondu par une poule ou comme un œuf donnant naissance à une poule : la poule le précède dans le premier cas (par définition) alors qu'elle le suit dans le second (par définition aussi).
La mutation conduisant de l'animal qui a précédé la poule (on pourrait le nommer une protopoule) à la poule elle-même ne peut bien entendu que s'être manifestée en premier dans l'œuf, puisqu'elle est héréditaire.
On peut enlever un poil de barbe à un barbu, il restera barbu ; cependant, après un certain nombre de poils enlevés il ne le sera plus. À partir de combien de poils changera-t-il de statut ?
Il n'y a en fait pas de réel paradoxe, juste la mise en évidence d'un flou dans les définitions. Seule une définition opérationnelle, c'est-à -dire celle d'un processus qui, appliqué à une personne, permettra de décider si cette personne est à considérer comme barbue ou pas (et la définition dépendra de la raison exacte pour laquelle on souhaite distinguer les barbus des non-barbus - est-ce pour savoir qui aura besoin de lames de rasoir, ou pour des questions d'hygiène, etc.) permet de lever l'indétermination.
Variantes : À partir de quel âge est-on vieux ?, Combien faut-il de cailloux pour faire un tas ?, etc. Le paradoxe n'existait que dans une vision essentialiste du monde, où l'on supposait que les catégories de la raison préexistaient à l'exercice de celle-ci (vision de Platon opposée à celle d'Aristote).
Saccheri a proposé le syllogisme en Camestres (AEE de la première figure) suivant, construit à partir des règles de constructions des syllogismes (on sous-entend que le syllogisme est de la première figure) :
Est nommé hétérologique un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple : « long » est un mot hétérologique en ceci qu'il n'est pas « long ».
Ainsi selon cette définition, le mot « hétérologique » est hétérologique si et seulement s’il ne l'est pas.
Même explication que le paradoxe d'Epiménide.
Les entiers peuvent être décrits par des expressions (en français) telles que : «dix puissance cent» ou «le plus grand nombre premier connu au vingtième siècle». Comme le vocabulaire disponible est fini (mettons qu'il y ait 200 000 mots en français), les phrases de N mots ne peuvent décrire plus de 200000^N entiers (et en fait beaucoup moins, la plupart des « phrases » ne voulant en fait rien dire, ou ne parlant pas d'entiers). Ce nombre étant fini, il y a donc des entiers non descriptibles (en français) par des phrases de moins de N mots, et par exemple, il existe un entier qui est «le plus petit entier non descriptible en français par une phrase de seize mots ou moins ». Mais cette phrase, qui le décrit parfaitement, ne comporte que seize mots...
Notons au préalable que ce que l'on appelle paradoxes mathématiques n'en sont plus aujourd'hui (sauf les nouveaux, bien sûr). En effet, les paradoxes anciens étaient tous basés sur un manque d'hypothèses, ou plutôt devrait-on-dire, sur un manque références globales. On ne travaille aujourd'hui en mathématiques qu'en prenant bien soin de définir de quels éléments nous parlons, et notamment de l'espace de référence (pour les connaisseurs, une relation peut être paradoxale à la base car est appliquée dans un espace quelconque. Elle n'est plus paradoxale dès que vous vous ramenez à un espace de référence, comme un Banach.
Il y a autant de nombres entiers que de nombres carrés car on peut les faire correspondre un à un (1 avec 1, 2 avec 4, 3 avec 9, etc.) alors que les nombres entiers contiennent strictement les nombres carrés.
En fait, le « nombre » d'entiers aussi bien que de carrés est le premier transfini, ‪ℵ. Les lois de composition des transfinis ne sont pas celles des nombres finis qui les composent. ℵ au carré est égal à ℵ.
Les mathématiciens du XVIII siècle ont essayé d’appliquer les règles de calcul sur les nombres réels aux nombres complexes, par exemple :
De plus la racine carrée n’existe pas dans ℂ puisqu’il existe deux racines carrées de tout nombre complexe. De même le logarithme d’un nombre complexe est défini à 2iπ près. Voir plus loin le paradoxe de « i ».
Le paradoxe mis à jour par Joseph Bertrand (1822-1900), de l'Académie française, révèle les limites du recours à l'intuition en probabilités. Ce mathématicien propose de tracer au hasard une corde d'un cercle donné et d'estimer la probabilité que celle-ci soit de longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit. Le paradoxe est que la réponse dépend du protocole de choix de la corde. Chacune des réponses « une chance sur deux », « une chance sur trois » ou « une chance sur quatre » peut être justifiée.
Il en serait de même pour « la probabilité qu'un entier pris au hasard soit impair », que l'on peut varier à volonté sur l'intervalle ouvert ]0,1[ selon la façon dont on effectue le tirage. Quant à « la probabilité qu'un réel tiré au hasard soit entier », elle est nulle, réellement nulle, ce qui n'empêche nullement les nombres entiers d'avoir une existence.
L'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, est membre de lui-même si et seulement s'il ne l'est pas. Ce paradoxe a été trouvé dans l'axiomatique de Gottlob Frege par Bertrand Russell.
L'ensemble de tous les ordinaux ne possède pas lui-même d'ordinal du fait que cet ordinal doit être nécessairement plus grand que ou au moins de taille égale à (pour un cardinal ℵ) chacun des membres de cet ensemble qui, par là même et en dépit de sa définition, ne contient pas cet ordinal.
Dans l'espace de dimension 3, il est possible de découper une boule en un nombre fini de parties, de sorte qu'en déplaçant ces parties on recompose deux boules de même taille que la première boule. Le découpage n'est bien sûr pas trivial.
« Les nombres complexes sont définis par rapport à une valeur nommée i et dont le carré est défini comme -1. Mais il existe nécessairement deux telles valeurs, car si x a pour carré X, -x a le même. Comment savoir de laquelle des deux valeurs nous parlons ? »
La levée de ce paradoxe est une très belle illustration du principe de relativité : elle consiste à remarquer tout simplement que lorsque nous avons dit que le carré de i est -1, nous avons déjà dit tout ce qu'il y a à dire sur i. Assurément, le carré de -i sera également -1, mais cela ne fait que nous indiquer que toute relation vraie où apparaît le nombre i le reste si on le remplace par -i : on ne peut en effet effectuer de distinction fonctionnelle'' entre -i et i. Ils n'ont de différence qu'en opposition l'un à l'autre (voir Le cru et le cuit).
Il est laissé à l'initiative du lecteur de vérifier que e = -1.''
« Si Dieu est tout-puissant, peut-il créer un rocher si lourd qu'il n'arriverait pas à le soulever ? S'il ne peut pas le créer, il n'est pas tout-puissant, et s'il le crée tel que spécifié et ne peut pas le soulever ensuite, il n'est pas tout-puissant non plus ».
Cette question a enflammé les esprits au Moyen-Âge avec quelques autres qui en sont dérivées.
Selon Thomas d'Aquin, Dieu occupe en totalité l'espace de possibilités qui est conforme à sa nature, qui est de cohérence. L'exemple précédent ne signifierait pas que Dieu n'existe pas, mais simplement que l'autocontradiction appartient à ce qui n'est pas lui et qu'il en est par nature exempt. Remarquons en outre que le paradoxe proposé présuppose que Dieu a une nature temporelle, or dans la plupart des religions monothéistes, il est au contraire atemporel (omniprésent dans le temps).
Ce paradoxe est énoncé par Nelson Goodman en 1946, étudié par Watanabe dans son livre Knowing and guessing.
Nommons « vleu » l'adjectif signifiant « vert jusqu'au 31 décembre 2100 et bleu ensuite ». L'observation ne me permet en rien de distinguer un objet vleu d'un objet vert avant cette date. La logique inductive ne permet donc en rien de dire quelque chose de tangible sur le monde.
''La levée de ce faux paradoxe est des plus simples : la probabilité qu'on attribuera à un objet d'être vleu sera nécessairement liée :
Pour enfantin qu'il paraisse, ce paradoxe a été très utile pour aider à fixer les mécanismes sous-jacents à la logique inductive, et en particulier sur l'importance, au début sous-estimée, de la notion de contexte.''
Si l'on prend au pied de la lettre une définition ancienne de la probabilité comme rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles, on arrive à des résultats curieux.
Ainsi y a-t-il des hommes sur le satellite (de Jupiter) Ganymède ? Si nous prenons la définition de la probabilité sans précaution, nous pourrions être tentés de supposer qu'il y a une chance sur deux !
En ce cas, la probabilité qu'il n'y ait autour de Ganymède ni hommes, ni chats, ni chiens, ni poules, ni cafards, ni vers de terre, ni poissons, ni oiseaux peut être rendue aussi proche de 0 qu'on le veut (1/2), N étant le nombre d'espèces considérées.
Il va de soi qu'on ne peut pas prendre le problème de cette façon. Nombre de formules se targuant de démontrer qu'il existe quasi-certainement de la vie ailleurs que sur Terre ont cependant ce type d'approche. Voir aussi Paradoxe de Fermi.
Si on suppose que l'univers est infini, et uniformément peuplé d'étoiles, on montre facilement qu'une demi-droite partant de l'observateur dans une direction quelconque finit toujours par en rencontrer une. Le ciel nocturne devrait donc être aussi brillant que la surface des étoiles.
''Ce paradoxe est assez facilement levé, la plupart de ses hypothéses étant contestables : univers infini ? peuplé uniformément? Sur ce dernier point, Benoît Mandelbrot a construit un modéle fractal d'univers où le paradoxe disparait.
Il disparaît également en cas d'expansion de l'univers conformément au modèle standard, et la découverte en 1998 d'une accélération de cette expansion ne remet pas en cause cette disparition, mais au contraire l'explique encore mieux.''
Voir Chat de Schrödinger
Le Big Bang représentant dans le modèle standard l'origine absolue du temps dans notre univers, la question de ce demander ce qu'il y avait avant n'y a pas plus de sens que demander quels sont les points de la surface terrestre plus au Nord que le pôle Nord. Si le Big Bang a existé, tout ce que l'on peut dire est qu'il pouvait exister, et il n'y a pas lieu de se demander quel événement en a été chronologiquement la cause puisque, toujours dans le cadre du modèle standard, le temps a commencé avec lui. On ne peut parler cause qui serait antérieure; tout au plus des raisons (logiques et non causales) pour lesquelles il n'était pas autocontradictoire.
Dans les cas des théories autres que le modèle standard (voir Gabriele Veneziano) on peut bien entendu se poser à nouveau la question; sauf que si un temps préexiste, alors il ne s'agit plus d'un Big Bang au sens classique du terme.
Voir Big bang
Si je dis « Tous les corbeaux sont blancs », cette phrase est logiquement équivalente à « Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux ». Pour renforcer par un processus d'induction ma conviction que « Tous les objets non-blancs sont des non-corbeaux », je peux fort bien rester dans ma chambre, y trouver dix mille objets non blancs, et vérifier que ce sont bien tous des non-corbeaux. Une loi qui se vérifie sur dix mille observations sans la moindre exception est certainement valide, n'est-ce pas ?
Réponse : non. Tout ce qui a été établi, c'est que tous les objets non-blancs contenus dans ma chambre sont des non-corbeaux. En logique inductive, il faut toujours préciser le contexte d'une observation (voir inférence bayésienne et probabilité conditionnelle).
Avant qu'il n'ouvre l'enveloppe, on lui demande s'il souhaite changer d'enveloppe.
Soit la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie en premier. Il y a deux cas possibles :
Or un tel choix parait absurde, puisque les enveloppes ne se distinguent entre elles que par leur nom. On s'attendrait à ce que les enveloppes gardent une espérance de gain égale après ces manipulations indépendantes de leur contenu.
Ce paradoxe n'est pas élucidé de façon vraiment satisfaisante, hors raisonnement bayésien. Ce dernier considère qu'il existe une valeur moyenne probable du chèque ; or la seule distribution qui convienne pour rendre compte de cette contrainte unique est une exponentielle négative (loi d'entropie maximale parmi celles qui y répondent). En ce cas, on observe en effet que le cas d'un chèque de taille double dans l'autre enveloppe aussi bien que celle d'un chèque de taille moitié ont exactement la même espérance mathématique.
Voir aussi : Paradoxe de Saint-Pétersbourg
proposition de réponse : La nature du paradoxe tient au fait que le problème est mal posée puisqu'on attribue deux espérences de gain différentes au même evenement (choisir l'autre enveloppe). Le problème doit être posée ainsi: soit N le montant d'une enveloppe et 2N le montant de l'autre: l'esperence de gain globale est alors 0.5*N+0.5*2N = 1.5*N qui correspond bien à la moyenne des sommes.
Mais que répondre à quelqu'un qui vous dit : « Si je lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté; la troisième y sera avec une chance sur deux. J'ai donc une chance sur deux que toutes trois tombent du même côté ». Sans doute jouer avec lui (avec mises) sur les bases de son estimation de probabilité jusqu'à ce qu'il la révise...
Ce paradoxe est un peu plus facilement admis par le grand public que celui des deux enfants. C'est pourtant, in fine, le même.
Réponse immédiate du « bon sens » (probablement) : une chance sur deux.
Ce n'est pourtant pas le cas selon un autre point de vue. En effet, chaque enfant peut être fille ou garçon avec une probabilité (en gros; voir pourtant sex ratio) 1/2. On a donc quatre cas possibles et équiprobables :
Si un garçon vient ouvrir, alors on n'a plus que trois cas en présence, car le cas fille, fille a disparu. Et la probabilité que l'autre enfant soit un garçon passe à une chance sur trois.
Aussi étrange que cela puisse paraître, au vu de l'information apportée, c'est cette seconde approche qui est la bonne. La probabilité conditionnelle pour avoir deux garçons est en effet plus faible - et cela, plus personne ne le conteste - si l'on est déjà certain de l'existence d'au moins un des garçons.
Il reste que les débats sur cette question sont souvent très animés, et que seule une simulation sur ordinateur arrive en général à convaincre les tenants du premier point de vue, ceux-là même qui pourtant ne se laissaient pas prendre au paradoxe des trois pièces de monnaie. Pourquoi ? La question reste ouverte.
À noter que le calcul est totalement différent si on apprend que l'aîné est un garçon : la probabilité que l'autre enfant soit un garçon est alors effectivement d'une chance sur deux !
Trois prisonniers sont dans une cellule. Ils savent que deux vont être condamnés à mort et un gracié, mais ils ne savent pas qui. L'un d'entre eux va voir le gardien et lui demande : « Je sais bien que tu ne peux rien me dire, mais tu peux au moins me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ». Le gardien réfléchit, se dit que de toutes manières au moins l'un des deux autres prisonniers sera condamné, et s'exécute. Le prisonnier lui répond alors : « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. »
Bien entendu, le paradoxe n'est qu'apparent, et il est dû à notre incapacité à dissocier les deux autres prisonniers. Le gardien a bien donné une information cruciale, puisqu'il a retiré le doute sur l'un des deux. Il a donc été berné, comme la plupart d'entre nous l'aurait été : la probabilité d'être gracié a bien changé pour le prisonnier malin...
''En étudiant des tables de valeurs numériques d'origines très diverses (BTP, résistance des matériaux, chimie, mécanique des fluides, astronomie...), on retrouve en fait une distribution remarquablement régulière du premier chiffre (non-nul) des valeurs qui y sont contenues :
p(N) = log (1+1/N)
Cela est dû au fait qu'une distribution générale, si elle existe, doit rester invariante par un changement d'unités (par exemple que les tables sont exprimées en pouces ou en centimètres, en °F, °C ou kelvins, etc. La seule distribution restant invariante dans une multiplication de tous ses termes par une constante est celle qui précède.
Vous observerez très probablement la même distribution dans les numéros de rues présents dans votre carnet d'adresses (mais non ceux de téléphone, où le plan de numérotation des opérateurs téléphoniques joue le rôle d'anti-hasard).''
C'est un article concernant le Paradoxe. La page contient la signification du Paradoxe , Description et explication au sujet de Paradoxe Paradoxes logiques
Paradoxe d'Achille ou de la flèche
et
ce qui n'a pas de rapport direct.Paradoxe du menteur
Paradoxe de l'avocat
L'Å“uf et la poule
C'est l'un des plus anciens paradoxes, et aujourd'hui l'un des plus faciles à lever : « Qu'est-ce qui est apparu en premier : la poule ou l'œuf ? »Paradoxe du barbu ou du tas de sable
De même en enlevant un grain de sable à un tas de sable, le tas reste un tas de sable ; après une grande quantité de grains enlevés, le tas devient un tout petit tas, voire plus du tout un tas. À partir de quel pourcentage de grains enlevés le tas devient-il autre chose ?Paradoxe du syllogisme en Camestres
Or précisément ce syllogisme est en AEE.Paradoxe en barbara
Ce paradoxe tire son nom des syllogismes dits en barbara (A-A-A = deux prémisses et conclusion universelles et affirmatives) :
donc :
Autre paradoxe du même genre, mentionné dans des almanachs d'avant-guerre et reproposé par Tom Novembre :
Voir théorie des types. (voir aussi page de discussion).Paradoxe hétérologique de Grelling
Paradoxe de Berry
Paradoxes mathématiques
Paradoxe de Galilée ou de Georg Cantor
Paradoxes sur les nombres complexes
Ces deux paradoxes tiennent au manque de précision dans la définition des nombres complexes et à la perte de propriétés de certaines opérations lors du passage aux nombres complexes.Paradoxe de Bertrand
Paradoxe de Bertrand Russell
Paradoxe de Burali-Forti
Paradoxe de Richard
Paradoxe de Skolem
Paradoxe de Banach-Tarski
Paradoxe de « i » ou des deux racines carrées
Paradoxes théologiques
Dieu et le rocher lourd
Paradoxes liés à la théorie de la connaissance
Paradoxe de Goodman, dit de l'émeraude « vleue »
C'est donc nécessairement cette seconde estimation qui sera utilisée, associant par conséquent une très faible probabilité à l'émeraude d'être vleue.Paradoxe de la vie sur Ganymède
Paradoxes physiques
Paradoxe d'Olbers dit « du ciel de feu »
Faux paradoxes liés à la relativité
Paradoxe du chat de Schrödinger
Paradoxe « quelle est la cause du Big Bang ? » (sic)
Paradoxes probabilistes
Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre
Les deux chèques
Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre. Le candidat choisit une des enveloppes.
L'espérance de gain si on change d'enveloppe paraît donc être , soit , qui est supérieur à . Il faudrait donc à tout coup changer d'enveloppe.Paradoxe des trois pièces de monnaie
On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit pile ou face ? Une sur quatre. Soit.Paradoxe des deux enfants
Une famille chez qui on se rend en visite a deux enfants, mais on ne sait pas de quel(s) sexe(s). On sonne à la porte. Un garçon vient ouvrir. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ?
Les familles avec deux garçons ont donc une fréquence théorique d'une sur quatre.Le paradoxe des prisonniers
« Paradoxe » de Benford
Signalé par Frank Benford en 1939 : Pourquoi les pages des vieilles tables de logarithmes sont-elles d'autant plus usées qu'elles se trouvent proches du début ?
et, de façon plus générale, chaque chiffre N apparaît en première position avec la probabilité :Paradoxe de Fermi
Fait l'objet de l'article paradoxe de Fermi.