Nombre premier de Mersenne Article, Signification, Explication

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1. Ces nombres premiers doivent leur nom à un mathématicien français du XVIIe siècle, Marin Mersenne.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont: 3, 7, 31, 127.

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IVe siècle av. J.-C, Euclide démontrait que si M = 2^p - 1 est un nombre premier de Mersenne, alors M(M+1)/2 = 2^(p-1)(2^p - 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVIIe siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu, et on suppose qu'il n'en existe aucun.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1. On utilise la notation M_p = 2^p - 1.

On peut montrer facilement que pour que M_p soit premier, il faut que p soit premier. Cela simplifie déjà la recherche de nombres premiers de Mersenne. La réciproque n'est pas vraie: M_p peut être composé alors que p est premier; le plus petit exemple est 2¹¹-1 = 23×89.

Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) très rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et améliorée par Lehmer dans les années 1930. On peut effectivement montrer que M_p = 2^p-1 est premier si et seulement si M_p divise S_p-2, où S₀ = 4 et pour k > 0, S_k = S_k-1²-2.

Mersenne n'a pas inventé les nombres de Mersenne, mais il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu'à l'exposant 257. Malheureusement cette liste était fausse: elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 109.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (2¹³-1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva encore un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Pervushin en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XXe siècle par Powers en 1911 et Fauquembergue en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1953 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de Los Angeles de l'Université de Californie, sous la direction de D.H. Lehmer, avec un programme écrit par R.M. Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En mai 2004, seuls 41 nombres premiers de Mersenne étaient connus, et le plus grand nombre premier connu était un nombre premier de Mersenne, 2 ^24 036 583-1. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »). Leur site internet (lien en fin de page) contient beaucoup d'information sur les propriétés des nombres premiers de Mersenne, la vie de Marin Mersenne, et l'état actuel de la recherche de grands nombres premiers.

Liste des nombres premiers de Mersenne

Articles connexes

• GIMPS
• nombres premiers de Fermat
• Liste des grands nombres

• http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml (en anglais)
• (en anglais) Page d'accueil du projet GIMPS

C'est un article concernant le Nombre premier de Mersenne. La page contient la signification du Nombre premier de Mersenne , Description et explication au sujet de Nombre premier de Mersenne