Mathématiques financières Article, Signification, Explication
Les Mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent principalement des outils issus de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel. Historiquement, il est possible de faire remonter la naissance de la théorie moderne des marchés financiers à l'étude du problème de valorisation des options.
L'observation empirique du cours des actifs financiers montre que ceux-ci ne sont pas déterminés de façon certaine par leur histoire. En effet, les nombreuses opérations d'achat ou de vente ne sont pas prévisibles, font souvent intervenir des éléments n'appartenant pas à l'historique, et modifie le cours de l'actif. Celui-ci est donc souvent représenté par un processus chaotique (Benoit Mandelbrot a établi par des considérations statistiques qu'un modèle aléatoire ordinaire, par exemple gaussien, ne pouvait convenir). L'aléa reste cependant parfois modélisé par un mouvement brownien, mais des modèles plus élaborés (par exemple, le modèle de Bates) tiennent compte de la non continuité des cours (présence de chocs), ou de la non symétrie des mouvements à la baisse et à la hausse.
L'une des hypothèses fondamentales des modèles usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée absence d'opportunités d'arbitrage, et est justifiée par l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci crèent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.
Une autre hypothèse, beaucoup plus remise en question, est que tout flux à venir peut être répliqué exactement, et quel que soit l'état du monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis. Les modèles ne comprenant pas les hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés sont dits modèles de marchés imparfaits.
Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou « probabilité risque-neutre » telle que le processus de prix des actifs est une martingale sous cette probabilité.
Un processus stochastique est une martingale par rapport à un ensemble d'information si son espérance en date t conditionnelle à l'information disponible en date s < t, est égale à la valeur du processus en date s. C'est-à -dire qu'un processus est martingale si l'espérance de A(t) en date s est de A(s).
La valorisation (on dit aussi pricing) des produits dérivés se ramène souvent au calcul du prix aujourd'hui d'un actif dont on ne connait le prix qu'à une date future. Il se ramène donc au calcul d'une espérance conditionelle. Le Modèle Black-Scholes est un exemple de solution analytique au problème de valorisation des options d'achat (call) ou de vente (put) d'un actif sous jacent. Dans le cas d'un call, le problème s'écrit:, où est le cours de l'actif, et est le prix d'exercice (ou Strike). La formule de Black et Scholes est un exemple de solution analytique à ce problème, sous des hypothèses restrictives sur la dynamique du sous-jacent. Voir aussi option.
A noter qu'une obligation convertible peut s'évaluer comme un lot comprenant une option d'achat et une obligation classique
Les modèles simples supposent que le taux d'intérêt, c'est-à -dire le loyer de l'argent est constant. Cette hypothèse est centrale, car sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, un portefeuille non risqué rapporte ce taux d'intérêt. Or cette approximation n'est évidemment plus valable dès que le cours de l'actif est essentiellement lié au niveau du taux d'intérêt (par exemple, le cours des obligations à taux variable, des swaptions...) ne peuvent être expliqués par un modèle à taux d'intérêt fixe.
On modélisera donc le taux d'intérêt par un processus aléatoire, auquel on demandera:
- d'être au mieux compatible avec l'ensemble des [courbe des taux] observables
- d'avoir des propriétés réalistes, comme de ne pas autoriser des taux négatifs, de rendre compte de l'effet de retour à la moyenne (mean reversion),...
Les travaux de Vasicek ont permis d'exhiber un processus, dérivé du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, cohérent, dont le loyer de l'argent ne dépend que du taux instantané (overnight) mais autorisant des taux négatifs. Des modèles plus élaborés (CIR, ...), faisant partie de la famille dite des modèles affines de taux court, ont permis de remédier à cette lacune, mais ne satisfont pas vraiment les spécialistes du fait de la difficulté d'interprétation financière des paramètres de diffusion et de leur incapacité à épouser exactement la courbe des taux zéro-coupon spot. Heath, Jarrow et Morton ont proposé une famille de modèles cohérents, dont la dynamique ne dépend que d'une fonction facilement interprétable (la volatilité du taux forward), et capables de rendre compte de n'importe quelle courbe de taux donnée. Des modèles dits de marché (BGM ou Libor Forward) connaissent un certain succès dans l'explication du prix des caps et des floors.
Toutefois, à la différence du marché des dérivés d'options où le modèle de Black et Scholes, plus ou moins arrangé pour le débarasser de ses imperfections (volatilité constante, taux d'intérêt constant,...) occupe une place prépondérante, aucun modèle de taux ne fait l'unanimité des spécialistes. Les taux d'intérêts sont en effet soumis à des pressions exogènes très importantes, qui rendent caducs très rapidement toutes les calibrations possibles. À l'heure actuelle, les publications et les recherches à ce sujet sont abondantes. C'est un article concernant le Mathématiques financières. La page contient la signification du Mathématiques financières , Description et explication au sujet de Mathématiques financières Nature aléatoire des marchés
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Probabilité Martingale
Le problème de valorisation des produits dérivés
Dérivés de taux d'intérêt