Loi de composition Article, Signification, Explication

En mathématiques, une loi de composition ou une loi, est une application d'un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un autre ensemble G. Une loi *: E× F→ G associe à un couple (x, y) de E× F, un élément de G noté x*y (au lieu de *(x,y)) appelé composée de x et y ou produit de x et y.

x et y sont parfois appelles les opérandes.

En particulier,

• lorsque E=F=G, * est une loi de composition interne sur E,
• lorsque F=G, E× F→ F est une loi de composition externe ou loi de composition externe à gauche, et E est le domaine d'opérateurs,
• lorsque E=G, E× F→ E est une loi de composition externe à droite de domaine F.

Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition internes ou externes vérifiant certaines conditions, nous munissons l'ensemble d'une structure. Les conditions vérifiées par les lois s'appellent les axiomes de la structure de E.

Table of contents

1 Remarques 2 Exemples 3 Lois internes 4 Lois externes

Remarques

Les lois sont souvent écrites en utilisant la notation infixe comme x× y, x+ y, ou x·y plutôt que la notation fonctionnelle de la forme f(x, y ). Parfois elles sont même écrites juste par juxtaposition xy et le symbole de la loi est omis.

Elles peuvent également être exprimées à l'aide de notations préfixes ou suffixes.

Une notation préfixe, ou notation polonaise, se passe de parenthèses; elle se rencontre probablement plus souvent sous sa forme suffixe, notation polonaise inverse.

En informatique une loi interne est plutôt appelée opérateur binaire.

Exemples

• Un produit scalaire sur un -espace vectoriel E est une loi de E× E dans .
• l'exponentiation entière des réels est une loi de dans
• les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division,
• un exemple de multiplication externe est la multiplication par un scalaire des vecteurs en algèbre linéaire.

Lois internes

Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre abstraite; elles font partie des groupes, des monoïdes, des semi-groupes, des anneaux, etc.

La structure générale de magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l'addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d'un ensemble dans lui-même.

Les exemples de lois qui ne sont pas commutatives sont la soustraction (notée -), la division (notée ÷ ou :).

Lois externes

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l'extérieur. Une loi externe E × F→ F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.

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