Limite (mathématiques) Article, Signification, Explication
Voir aussi, pour une présentation plus abordable : Limite dans la série Mathématiques élémentaires.
| Table of contents |
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2 Limite d'une fonction en un point 3 Espaces métriques 4 Généralisations pour les espaces topologiques |
Supposons que (x1, x2, ...) soit une suite de nombres réels.
On dit que cette suite est convergente, si par définition :
il existe un réel L tel que
Limite d'une suite de nombres réels
Intuitivement, cela signifie que tous les termes de la suite deviennent aussi proches que l'on veut d'un réel L, dès que n est assez grand; la valeur absolue |xn - L| doit être interprétée comme la « distance » entre xn et L.
On démontre que pour une suite convergente le réel L de la définition est unique. Ce réel L est appelé la limite de cette suite et on écrit :
Une fonction f : R → 'R\' est continue en un point L si et seulement si :
L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant :
si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes et que lim xn = L et lim yn = P, alors la suite (xn + yn) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a xn) est convergente de limite aL. Ainsi, l'ensemble c de toutes les suites réelles convergentes est un espace vectoriel réel et l'opération de passage à la limite est une forme linéaire sur c à valeurs réelles.
Si (xn) et (yn) sont des suites réelles convergentes de limites respectives L et P, alors la suite (xnyn) est convergente de limite LP. Si ni P ni aucun des termes yn n'est nul, alors la suite (xn/yn) est convergente de limite L/P.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy et est ainsi bornée.
Si (xn) est une suite de réels, bornée et croissante (i.e. pour tout entier n, xn ≤ xn+1), alors elle est nécessairement convergente.
Toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente, ou plus simplement: l'ensemble des réels est complet.
Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si ses limites inférieures et supérieures sont finies et égales.
Supposons que f : U → R soit une fonction, où U est un sous-ensemble de l'ensemble des réels. Si p est un point de U (point d'accumulation de U).
On dit que f admet une limite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
Définissons maintenant la limite pointée :
On dit que f admet une limite pointée (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
On dit que f admet une limite à droite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant
Il est possible aussi de considérer des limites où p ou L sont égaux à plus ou moins l'infini.
On dit que f(x) tend vers plus l'infini (+∞) quand x tend vers p si par définition
En remplaçant ε par S comme précédemment, on peut aussi définir les limites infinies d'un seul côté (à droite ou à gauche).
La limite pointée de f(x) quand x tend vers p existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales.
Si p est un point de U, alors la limite de f(x) quand x tend vers p existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales à f(p), si et seulement si la limite pointée de f(x) quand x tend vers p existe et est égale à f(p) et si et seulement si f est continue en p.
Si p n'appartient pas U alors la limite de f(x) quand x tend vers p existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales.
Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques :
Si
Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :
Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0; cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas comme par exemple 0/0, 0×∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles mais les limites peuvent être en général obtenues par la règle de l'Hôpital.
Les nombres réels forment un espace métrique si nous utilisons la fonction distance définie par la valeur absolue : d(x,y) = |x - y|. Il en est de même des nombres complexes avec le module. De plus, l'espace euclidien Rn forme un espace métrique avec la distance euclidienne. Voici quelques exemples motivant une généralisation des définitions de limite données précédemment.
Si (xn) est une suite dans un espace métrique (M, d), alors on dit que la suite a une limite L si par définition pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n>n0 on ait d(xn, L) < ε.
Si l'espace métrique (M, d) est complet (ce qui est le cas pour l'ensemble des nombres réels ou complexes et l'espace euclidien, et tout autre espace de Banach, alors on peut établir la convergence d'une suite de M en montrant que c'est une suite de Cauchy. L'avantage de cette approche est de pouvoir montrer que la suite est convergente sans nécessairement connaître la limite d'avance.
Si M est un espace vectoriel normé réel ou complexe, alors l'opération de passage à la limite est linéaire, comme nous l'avons expliqué ci-dessus dans le cas des suites de nombres réels.
Maintenant supposons que f : M → N soit une application entre deux espaces métriques, et que p soit un élément de M et L un élément de N. On dit que la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et on écrit :
À nouveau, si N est un espace vectoriel normé, alors l'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et la limite de g(x) quand x tend vers p est égale à P, alors la limite de f(x) + g(x) quand x tend vers p est égale à L + P. Si a est un scalaire du corps de base, alors la limite de af(x) quand x tend vers p est égale à aL.
Si N est égal à R, alors nous pouvons définir des limites infinies; si M est égal à R, alors nous pouvons définir des limites à droite et à gauche de manière analogue aux définitions précédentes.
Toutes les notions de limite ci-dessus peuvent être unifiées et généralisées à un espace topologique arbitraire en introduisant les filtres et leur limite.
Néanmoins la définition de limite pour le cas particulier des suites (indexées par ) est relativement simple :
C'est un article concernant le Limite (mathématiques). La page contient la signification du Limite (mathématiques) , Description et explication au sujet de Limite (mathématiques) Exemples:
Si 0 < a ≤ 1, alors la suite de terme général a1/n a une limite égale à 1.Propriétés
Une sous-suite (ou suite extraite) de la suite (xn) est une suite de la forme (xa(n)) où les a(n) sont des entiers naturels tels que pour tout n on ait a(n) < a(n+1). Intuitivement, une sous-suite s'obtient à partir de la suite initiale en omettant certains termes. Une suite est convergente si et seulement si toutes ses sous-suites sont convergentes et ont même limite.Limite d'une fonction en un point
On démontre que ce réel L de la définition est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note :
Ceci équivaut à dire:
Remarquons que la fonction n'a pas besoin d'être définie en p, mais si la fonction est définie en p alors f(p) est égale à la limite de f en p et donc l'application est continue en p.
De même ce nombre L est alors unique et on note :
Occasionnellement, il peut être utile d'approcher le point p que d'un seul côté.
Ce nombre L est alors unique et on le note :
Les limites à gauche s'obtiennent en remplaçant x - p dans la dernière définition par p - x.
On dit que la limite de f(x) quand x tend vers plus l'infini est égal à L si
Enfin, on dit que la limite de f(x) est égale à plus l'infini quand x tend vers plus l'infini, si
Les définitions pour moins l'infini sont analogues.Exemples:
Propriétés
et
alors
et
et
(La dernière propriété suppose que f2 ne s'annule pas dans un voisinage de p et que L2 n'est pas nul).
(voir la droite réelle achevée).Espaces métriques
si par définition :
Ce qui est équivalent Ã
Une fonction f est continue en p si et seulement la limite de f(x) quand x tend vers p existe et est égale à f(p). De manière équivalente, f transforme toute suite de M convergente de limite p en une suite de N convergente de limite f(p).Exemples
Généralisations pour les espaces topologiques
On peut donner une définition équivalente à l'aide des bases de voisinages :
Cette définition peut aussi être reformulée en terme d'ouverts :