Implication logique Article, Signification, Explication

En mathématiques, une propositon P implique logiquement une proposition Q, si la proposition ¬P∨Q est vraie, et nous écrivons :

P⇒Q

ce qui se lit « P implique Q »

« ⇒ » s’appelle connecteur d’implication.

« P⇒Q » s’appelle une implication logique.

La table de vérité de l’implication est donnée par le tableau :

P	Q	P ⇒ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Dans le langage naturel, pour traduire que P implique Q, nous dirons indifféremment :

• P entraîne Q
• P est une condition suffisante de Q
• Q est une condition nécessaire de P
• Pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie
• Pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie

Mais attention « P implique Q », ne signifie pas que « Q est une conséquence logique de P ».

« P⇒Q » est vraie d'après la table de vérité si P est fausse et Q vraie. Par exemple l’implication :

(0=1) ⇒ (0=0)

est vraie, mais (0=0) ne se déduit pas de (0=1) qui est fausse.

Mais la table de vérité, montre que si P est vraie alors pour que l’implication P⇒Q soit vraie il faut que Q soit vraie. Dans la pratique, nous démontrons une implication comme cela.

En fait la déduction directe de Q à partir de P est représentée par l’implication toujours vraie (tautologie):

(P et (P⇒Q)) ⇒Q

Si dans certaines conditions, P est vraie ainsi que P⇒Q, alors l’implication précédente montre que Q est vraie.

Ajoutons que d’autres formulations de la langue française représentent des implications :

• « Si… alors… »
• « … donc… »
• « … d’où… »
• « … ainsi… »
• « de…, nous déduisons que… »
• « … par conséquent… »

D’autre part si P est fausse alors l’implication P⇒Q est vraie ; et donc toutes les implications que nous écrirons à partir d’une proposition fausse seront vraies !! (« on dit d'ailleurs qu’à partir du faux on peut démontrer n’importe quoi »)

Par exemple :

« 4 est divisible par 3 implique 4=3 » est une implication vraie

« Louis XVI était hollandais implique 0=0 » est vraie

En fait, l’implication P⇒Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse.

Table of contents

1 Propriétés 2 L’implication n’est pas associative 3 Remarque 4 Quelques exemples 5 Voyez également

Propriétés

Soient P, Q et R trois propositions.

• P ⇒P (l’implication est réflexive)
• ((P ⇒Q ) ∧ (Q⇒R )) ⇒ (P ⇒ R ) (transitivité de l'implication)
• (¬(P ⇒ Q )) ⇔ (P ∧ (¬Q )) (négation d'une implication)
• (P ∧ (P ⇒ Q )) ⇒ Q (règle de déduction directe ou du détachement)
• (P ⇒ Q ) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) (loi de contraposition)
  

une implication est équivalente à sa contraposée

• (P ⇔ Q ) ⇔ ((P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P )) (loi de réciprocité)
• ((P ou Q) ∧ (P ⇒ R ) ∧ (Q ⇒ R )) ⇒ R (disjonction des cas)

L’implication n’est pas associative

Soient P, Q et R trois propositions.

• ((P ⇒ Q ) ⇒ R ) ⇎ (P ⇒ (Q ⇒ R ))

En effet le premier terme énonce qu'une implication implique R alors que le second énonce que P implique une implication.

Donnons un contre-exemple:

Considérons les trois propositions suivantes :

• P: (-1=0)
• Q: (0=0)
• R: (0=1)

La proposition P ⇒ Q est vraie puisque Q est vraie, et comme R est fausse, la proposition (P ⇒Q) ⇒ R est fausse.

La proposition Q est vraie et la proposition R est fausse donc l’implication (Q ⇒ R) est fausse et comme P est fausse, l’implication P ⇒( Q ⇒ R ) est vraie.

Nous en déduisons qu’en général les propositions P ⇒( Q ⇒ R ) et (P ⇒Q) ⇒ R ne sont pas équivalentes et donc l’implication n’est pas associative.

Il nous est donc impossible d’écrire des chaînes d’implications de la forme :

P₁ ⇒ P₂ ⇒ P₃ ⇒ … ⇒ P_n-1 ⇒ P_n

C’est la raison pour laquelle, nous disposons dans la pratique, les implications de cette façon :

P1	⇒	P2
	⇒	P3
	...	...
	⇒	Pn

ce qui signifie que les implications :

P₁ ⇒ P₂, ..., P_n-1 ⇒ P_n

sont vraies, et nous utilisons la transitivité de l’implication pour démontrer que:

P₁ ⇒ P_n.

Remarque

Dans une théorie mathématique, les implications P ⇒ Q vraies démontrées à partir des axiomes sont appelées théorèmes.

Démontrer un théorème, c’est établir qu’une proposition de la forme P ⇒ Q est une assertion vraie (dans la théorie).

Pour démontrer de tels théorèmes, il existe plusieurs types de raisonnements possibles, basés sur les propriétés précédentes de l’implication :

• la déduction directe
• la déduction par exclusion (ou incompatibilité)
• le raisonnement par contraposée (aussi le raisonnement par l’absurde)

Quelques exemples

∀ x∈ ℝ, ∀ y∈ ℝ,	x2=y2	⇒	(x-y)(x+y)="0"
		⇒	(x="y") ∨ (x=-y)

∀ x∈ ℝ+,	(x+2)2⩾4	⇒	x+2⩾2	car x+2⩾0
				et la racine carrée est croissante sur ℝ+

Voyez également

• équivalence logique
• logique (mathématiques)

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