Homotopie Article, Signification, Explication
mathématiques, le concept topologique d'homotopie formalise la notion naturelle de « déformation continue » d'un objet vers un autre.
| Table of contents |
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2 Équivalence homotopique entre espaces topologiques 3 Isotopie 4 Voir aussi |
On se donne deux espaces topologiques et . Deux fonctions continues sont dites homotopes (dans ) s'il existe une application continue telle que :
Une autre manière de le voir est que pour chaque , la fonction définit un chemin reliant à :
Exemple 1 : On prend , , et . Alors et sont homotopes dans via la fonction continue :
(pour chaque valeur de la fonction décrit un cercle de rayon autour de l'origine).
L'homotopie des fonctions est une relation d'équivalence sur l'ensemble des applications continues de vers . Une des premières application de l'homotopie est la définition de la connexité simple via l'homotopie des lacets.
La définition de l'homotopie entre deux espaces peut paraître abstraite, mais elle correspond à l'idée très simple de déformation continue.
Étant donné deux espaces topologiques et , on dit qu'ils sont homotopiquement équivalents (ou « du même type homologique ») si et seulement si il existe deux applications continues et telles que :
Deux espaces topologiques homéomorphes sont homotopiquement équivalents mais la réciproque est fausse en général comme le montrent les exemples suivants.
Exemples :
L'
isotopie est un raffinement de l'homotopie ; dans le cas ou les deux applications continues et sont des homéomorphismes on peut vouloir passer de à , non seulement continûment mais en plus par homéomorphismes.
On dira donc que et sont isotopes si et seulement si il existe une application continue telle que :
La notion d'isotopie est notamment importante en théorie des noeuds : deux noeuds sont considérés identiques s'ils sont homotopes, c'est-à -dire si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre sans que la « corde » se déchire ou se pénètre.
C'est un article concernant le Homotopie. La page contient la signification du Homotopie , Description et explication au sujet de Homotopie Homotopie entre fonctions
Autrement dit, selon les valeurs du paramètre , la fonction passe continûment de (pour ) à (pour ). Chaque valeur du paramètre correspond à une fonction :
« située entre et ».
(à noter que dans cet exemple rien ne dépend de la variable ce qui est exceptionnel...).
Exemple 2 : On prend , , et . décrit un cercle de rayon unité autour de l'origine ; reste à l'origine. Alors et sont homotopes via la fonction continue :Équivalence homotopique entre espaces topologiques
On parlera plus souvent d'équivalence homotopique entre deux parties d'espaces topologiques.Isotopie
La fonction est définie par .Voir aussi