Groupe fini Article, Signification, Explication
On dit qu'un groupe est un groupe fini si son cardinal est fini. Son cardinal est alors noté et est appelé ordre du groupe.
Pour tout élément de on définit l'ordre de comme le plus petit entier non nul tel qu'en notant l'élément neutre on ait .
Si est un groupe, on dit qu'un sous-ensemble de engendre ce groupe si tous les éléments de peuvent s'écrire comme produit (par la loi *) d'éléments de .
Un groupe engendré par un singleton {} est dit monogène.
Si de plus le groupe est fini, on dit qu'il est cyclique. L'ordre du groupe est alors l'ordre du singleton et un tel groupe est évidemment commutatif.
Tous les éléments d'un groupe fini ont un ordre inférieur à .
Un résultat fondamental dans l'étude des groupes finis est le théorème de Lagrange :
- Soit un groupe fini et un sous-groupe de . L'ordre de divise l'ordre de .
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2 Classification des groupes finis 3 Voir aussi |
Les exemples de groupes finis sont nombreux en mathématiques, on peut en donner les plus courants :
La classification des groupes finis est un des problèmes les plus ardus des mathématiques. Dans cette recherche, les groupes simples constituent les briques de base (un groupe simple est un groupe n'ayant pas de sous-groupes distingués autres que {1} et lui-même). Après plus d'un siècle d'efforts, les mathématiciens ont achevé en 1980 la classification des groupes finis simples. Ceux-ci appartiennent donc à quatre familles bien identifiées :
Exemples
Classification des groupes finis
L'ensemble des démonstrations aboutissant à cette classification comporte près de 10.000 pages ! La découverte de tous les groupes sporadiques constitue un des moments forts de ce travail : le plus gros d'entre eux, fort justement dénommé le monstre, a un nombre d'éléments de l'ordre de !