Groupe (mathématiques) Article, Signification, Explication
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, la notion de groupe est une abstraction des opérations naturelles, telles que l'addition, la multiplication, ou la composition, lorsqu'elles sont inversibles. Cette notion permet de modéliser des situations qui se retrouvent dans beaucoup de disciplines, non seulement en mathématiques, mais aussi en chimie et physique.
| Table of contents |
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2 Commutativité 3 Conventions 4 Exemples 5 Sous-groupe 6 Exponentiation par un entier, ordre d'un élément 7 Histoire 8 Voir aussi |
La structure algébrique d'un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles ; c'est-à -dire que c'est un ensemble muni d'une loi de composition interne qui satisfait les axiomes suivants:
Si deux éléments g et g' d'un groupe G vérifient , on dit alors qu'ils commutent.
Si en plus l'opération est commutative, c'est-à -dire si tous les éléments du groupe commutent entre eux, le groupe lui-même est dit commutatif, ou abélien.
Attention : en général, les groupes ne vérifient pas cette propriété ! Il faut donc prendre garde à l'ordre dans lequel on écrit les produits !
L'ensemble et le groupe lui-même sont le plus souvent confondus, et tous les deux notés par le même symbole, en négligeant de préciser de quelle loi de groupe on parle (le contexte est souvent assez explicite).
Pour un groupe en général, la loi est souvent notée comme une multiplication ; c'est-à -dire en écrivant , ou pour , ce qui est plus léger. Dans ce cas, on note aussi 1 l'élément neutre.
Cependant quand le groupe est abélien, on préfère noter la loi + et l'élément neutre 0. Noter un groupe non-commutatif avec une loi + est un interdit tacite.
Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G qui est un groupe pour l'opération qu'il hérite de G. On note parfois H
Cette exponentiation vérifie les propriétés suivantes:
On dit d'un élément g d'un groupe qu'il est nilpotent s'il existe un entier non nul n tel que .
Une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynome séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Euler, Carl Friedrich Gauss.Définition
En terme de variété équationelle, un groupe est une donnée (où G est un ensemble non-vide, une loi de composition interne de , e un élément de G et f une application de G dans G) soumise aux axiomes suivants :
Commutativité
Conventions
Exemples
Contre-exemples :
Ces trois derniers exemples sont des monoïdes et pas des groupes, par lacune de l'inversibilité.Sous-groupe
Exponentiation par un entier, ordre d'un élément
Définition de l'exponentiation
On peut définir une loi externe des entiers relatifs sur tout groupe, de la façon suivante : étant donnés n un entier relatif, et g un élément d'un groupe (G,∗,1), on pose :
Il faut noter que cette nouvelle notation est compatible avec la notation pour l'inverse d'un élément.:
Attention : on n'a pour tous que si le groupe est commutatif. Cependant, si g et g' commutent, on a bien pour tous .Ordre d'un élément
Si on se fixe , cette loi externe, avec ses propriétés, permet de définir un morphisme de groupes : , via : . Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe de , de la forme (petit o, et non zéro), avec ; si cet entier o est nul on dit que g est d'ordre infini, sinon on dit qu'il est d'ordre o.Exemples
Histoire