Giuseppe Peano Article, Signification, Explication

Giuseppe Peano, né le 27 août 1858 à Cuneo et décédé le 20 avril 1932 à Turin, était un mathématicien italien.

La famille de Giuseppe Peano s'installe à Turin en 1870. En 1884, celui-ci devient lecteur en calcul infinitésimal à l'université de Turin, où il obtient un poste de professeur en 1890. Il enseigne parallèlement à l'académie militaire de Turin de 1886 à 1901. Ses recherches touchent l'étude des fonctions d'une ou plusieurs variables réelles, le calcul vectoriel et l'analyse numérique, mais c'est surtout son travail pour formaliser et fonder les mathématiques sur un système axiomatique rigoureux qui est le plus original. On doit aussi à Peano la création d'un langage universel, issu du latin, d'abord appelé latine sine flexione, puis Interlingua, avec lequel il écrit plusieurs livres de mathématiques, et sa réflexion sur les langages est un apport intéressant à la linguistique.

Dès 1888, Peano cherche à utiliser la logique pour l'exposition des mathématiques ( alors que pour Frege ou Russell, elle doit servir de fondement aux mathématiques ) et à formaliser le langage servant à les écrire. Il est ainsi amené à créer de nombreux symboles pour la toute nouvelle théorie des ensembles, dont certains sont devenus courants, comme les symboles d'appartenance, de la réunion, de l'intersection et de l'inclusion. Il définit l'ensemble des entiers naturels ( qu'il note N ) par ce qu'on appelle depuis les axiomes de Peano.

L'apport de Peano dans le domaine de l'axiomatique est très important. En plus de son axiomatique pour l'ensemble des entiers naturels, il énonce pour la première fois, en 1888, après une étude attentive de l'œuvre de Grassmann ( Die Ausdehnungslehre ) les axiomes définissant la structure d'espace vectoriel ( sur R ), donne une définition de la notion d'application linéaire et remarque que son axiomatique des espaces vectoriels ne se restreint pas à la dimension finie ( il donne ainsi l'exemple de l'espace des polynômes à coefficients réels ). Il est de plus un ardent défenseur de l'axiomatisation, menée en particulier par Hilbert, de la géométrie élémentaire.

En 1887, Giuseppe Peano cherche à définir la notion d'aire d'une partie bornée du plan. Il définit l'étendue extérieure d'une telle partie A comme étant la borne inférieure des aires des polygones contenant A et l'étendue intérieure comme la borne supérieure des aires des polygones contenus dans A. Si les deux étendues coïncident, on définit l\'aire de A comme leur valeur commune. Cette définition, dont il souligne lui-même les insuffisances, est un pas vers la notion de partie mesurable du plan. Peano a le souci de donner de toutes les notions mathématiques, des définitions dénuées d'ambiguité et d'énoncer des théorèmes dont la validité ne souffre aucune exception. À l'occasion de la rédaction d'un traité sur le calcul différentiel et intégral, il met en évidence de nombreuses inexactitudes, voire des erreurs grossières, dans les ouvrages de ses prédécesseurs mais aussi de ses contemporains, et pour ce faire il devient un véritable champion du contre-exemple. le plus célèbre d'entre eux est celui de la « courbe » qui porte aujourd'hui son nom ( 1890 ), et qui montre que la définition donnée par Jordan est trop faible, puisque la courbe de Peano passe par tous les points d'un carré du plan. Ce dernier résultat implique d'ailleurs qu'il y a autant de points sur un segment de droite que de points dans un carré, ce qui va à l'encontre de notre intuition. Dans son étude des nombres cardinaux, le créateur de la théorie des ensembles, Georg Cantor, avait expliqué de façon précise et dans toute sa généralité, ce genre de phénomène ...

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