Géométrie différentielle Article, Signification, Explication

En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

La géométrie différentielle trouve sa principale application physique en théorie de la relativité où elle permet une modélisation d'une courbure de l'espace-temps.

Points de vue intrisèque et extrinsèque

Jusqu'au milieu du XIX{e} siècle, la géométrie différentielle avait essentiellement un point de vue extrinsèque au sujet des variétés rencontrées, ce qui signifie que celles-ci étaient définies comme une sous-ensemble d'un espace vectoriel (le plus souvent ). Par exemple on étudiait les propriétés d'une courbe dans le plan, ou d'une surface dans l'espace de dimension trois.

Les travaux de Bernhard Riemann ont introduit une vision intrisèque des variétés, sans cesse développées depuis ; elles sont alors considérées comme un objet "brut", pas défini comme partie d'un autre. Il n'y a plus de sens à vouloir "sortir" de la variété puisqu'elle existe indépendamment de toute notion d'espace ambiant, et pourtant on pourra donner un sens aux notions de tangence, de courbure...

Le point de vue intrinsèque a l'avantage d'être bien plus flexible que le point de vue extrinsèque, ne serait-ce que parce qu'il ne force pas à trouver un espace pouvant "contenir" la variété considérée, ce qui peut parfois se révéler difficile. Par exemple la bouteille de Klein est une surface (c'est-à-dire une variété de dimension 2) mais pour la plonger dans un espace ambiant il faut choisir . De même il n'est pas évident de trouver un espace "contenant" l'espace-temps courbé. Cependant, la flexibilité gagnée se traduit en une abstraction et une difficulté accrues pour définir les notions géométriques comme la courbure ou topologiques comme la connexité...

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