Fondation des mathématiques Article, Signification, Explication

Vers le début du XXe siècle, les mathématiciens ont essayé de définir le cadre dans lequel ils travaillaient, ce qui a été très productif.

Faire des mathématiques c'est :

• se donner des symboles (, , , , , etc) ;
• se donner une syntaxe pour construire des « phrases ». Par exemple on peut écrire mais pas ;
• se donner une méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases. Par exemple, si on a et alors on a aussi la « phrase » .

La définition ci-dessus est très générale, les mathématiques actuelles sont plus restrictives. Notamment, les « phrases » de départ sont appelées « axiomes », et la méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases est la logique classique. Ainsi, la théorie axiomatique des ensembles « standard » comporte neuf axiomes. Ces axiomes sont dits de Zermelo-Fränkel et comprennent l'axiome du Choix, d'où le sigle ZFC souvent employé pour désigner cette théorie.

Les mathématiques actuelles sont basées sur les ensembles, et en fait tout objet mathématique est un ensemble. On ne définit pas ce qu'est un ensemble, mais des règles de manipulations par les différents axiomes de ZFC. Par exemple est défini comme un ensemble. En fait on construit comme ceci: et (voir à ce sujet l'article sur la construction des entiers naturels). L'œuvre de l'association Bourbaki est très représentative de cette façon de voir les mathématiques.

Il est aussi possible de construire les mathématiques actuelles à partir de la théorie des catégories.

Enfin, il faut signaler que parmi les mathématiciens, certains se contentent des axiomes ZF, et refusent l'axiome du choix (C), car ils considèrent que certaines de ses implications sont contre-intuitives. Certains mathématiciens refusent même ZF et la logique classique qui en est la base, car ils considèrent que tout doit être construit explicitement; c'est la raison pour laquelle on les appelle constructivistes.

Il faut noter que l'analyse non-standard, due à ces derniers, ajoute à ZFC un prédicat et quelques axiomes supplémentaires pour utiliser ce prédicat. Cela permet d'augmenter le vocabulaire du mathématicien et de simplifier ses phrases. Par exemple la continuité d'une fonction dans se définit plus simplement avec l'analyse non-standard : est continue si pour tout infiniment petit et pour tout , est infiniment proche de . La notion d'infiniment petit est parfaitement définie en analyse non-standard. On obtient ainsi une définition de la continuité bien plus intuitive que la définition classique (dite « à base d'epsilons »), et qui demeure cependant stricte (modulo les abréviations).

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