Fonction Zeta de Riemann Article, Signification, Explication

La fonction ζ de Riemann est définie en tout nombre complexe s de partie réelle > 1 par

dans le domaine {s ; Re(s) > 1} du plan complexe, cette série est convergente et définit une fonction holomorphe. Bernhard Riemann s'est rendu compte que la fonction ζ peut être prolongée analytiquement de façon unique en une fonction holomorphe définie en tous nombres complexes s tels que s ≠ 1. C'est cette fonction qui fait l'objet de l'hypothèse de Riemann.

Le lien entre cette fonction et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler

un produit infini étendu à l'ensemble des nombres premiers p. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique.

Les zéros de ζ jouent un rôle important parce que certaines intégrales sur un contour impliquant la fonction peuvent être utilisées pour approcher la fonction du nombre de nombres premiers π (voir théorème des nombres premiers). Ces intégrales sur un contour sont calculées avec le théorème des résidus et par conséquent la connaissance des singularités est requise.

La fonction ζ satisfait l'équation suivante :

valable pour tout s dans . Ici, Γ désigne la fonction Gamma. Cette formule est utilisée pour construire le prolongement analytique. En s = 1, la fonction zeta a un pôle simple de résidu 1.

Euler était aussi capable de calculer ζ(2k) pour les entiers pairs de la forme 2k en utilisant la formule :

où les B_2k sont les nombres de Bernoulli.

De là nous voyons que ζ(2) = Ï€²/6, ζ(4) = Ï€⁴/90, ζ(6) = Ï€⁶/945 etc. Nous obtenons les célèbres séries infinies permettant de calculer Ï€. Pour les nombres impairs, le cas n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries.

On peut exprimer l'inverse de la fonction ζ en utilisant la fonction de Möbius μ comme suit :

pour tout nombre complexe s de partie réelle > 1,

Cette formule conjointement avec l'expression de ζ(2) donnée plus haut, peut être utilisée pour prouver que, la probabilité pour que deux nombres entiers pris au hasard soient premiers entre eux, est égale à 6/Ï€².

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