Fonction L Article, Signification, Explication
La théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore très largement conjecturelle, de la théorie des nombres contemporaine. Dans cette partie, de larges généralisations de la fonction Zeta de Riemann et les séries L pour un caractère de Dirichlet sont construites, et leurs propriétés générales, dans la plupart des cas sont hors de portée d'une démonstration, sont exposées d'une manière systématique.
| Table of contents |
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2 Exemples de fonctions L 3 Information conjecturelle 4 L'exemple de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer 5 Ampleur de la théorie générale 6 Références |
Comme dans le cas des exemples très connus, nous pouvons distinguer les représentation de séries (par exemple les séries infinies pour la fonction Zeta de Riemann), et la fonction dans le plan complexe qui est son prolongement analytique. Les constructions générales démarrent avec une série L, d'abord définie comme un produit infini, indexé par des nombres premiers, puis par extension comme une série de Dirichlet. Des estimations sont requises pour démontrer que ceci converge dans la la partie droite supérieure du plan des nombres complexes.
Puis, il est sensé de conjecturer un prolongement méromorphe dans le plan complexe, en tant que fonction L. Dans les cas classiques, déjà , on sait que l'information utile est contenu dans les valeurs et la connaissance de la fonction L, aux points où la série L elle-même n'est pas une représentation valide. Le terme général de la fonction L inclu ici beaucoup de types connus de la fonction Zeta.
Un exemple important d'application de l'étude des fonctions L est le théorème de Lejeune-Dirichlet.
On peut lister les caractéristiques des exemples connus de fonctions L que l'on souhaiterais voir généralisées :
Un des exemples les plus influents, et pour l'histoire des fonctions L les plus générales et pour la recherche de problèmes encore ouverts, est la conjecture développée par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans la première partie des années 1960. Elle s'applique à une courbe elliptique E, et le problème qu'elle essaie de résoudre est la prédiction du rang d'une courbe elliptique sur l'ensemble des nombres rationnels : c.a.d. le nombre de générateurs libres de son groupe de points rationnels. Plusieurs travaux précédents de ce domaine commencèrent à être unifié autour d'une meilleure connaissnce des fonctions L. Ceci fut quelque chose comme un exemple de paradigme de la théorie naissante des fonctions L.
Ce développement précéda le programme de Langland de quelques années, et peut être regardé comme son complémentaire : le travail de Langlands est lié largement aux fonctions L d'Artin, qui, comme Hecke, furent définies plusieurs décennies plus tôt.
Graduellement il devint plus clair dans quel sens la construction de Hasse-Weil put être faite pour travailler à fournir des fonctions L valides, dans le sens analytique : il doit exister certaines entrées à partir de l'analyse, qui veut dire analyse automorphe. Le cas général unifie maintenant à un niveau conceptuel un nombre différent de programmes de recherches.
Quelques liens pour aller plus loin :
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Exemples de fonctions L
Information conjecturelle
Un travail détaillé a produit un grand corps de conjectures plausibles, par exemple à propos du type exact d'équation fonctionnelles qui pourrait s'appliquer. Comme la fonction Zeta de Riemann connecte ses valeurs aux entiers pairs des nombres de Bernoulli, on peut envisager une généralisation appropriée de ce phénomène. Dans ce cas, des résultats ont été obtenus pour ce que l'on appelle les fonctions L p-adiques, qui décrivent certains modules de Galois.L'exemple de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Voir l'article principal conjecture de Birch et Swinnerton-DyerAmpleur de la théorie générale
Références