Fonction holomorphe Article, Signification, Explication
Les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'étude de l'analyse complexe; ce sont des fonctions définies sur un sous-ensemble ouvert du plan complexe , à valeurs dans et dérivables en tout point. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle et implique que la fonction est indéfiniment dérivable et peut être décrite par sa série de Taylor. Une fonction analytique est une fonction développable en série entière en tout point, et les notions de fonction analytique et de fonction holomorphe sont confondues pour les fonctions d'une variable complexe. Une fonction qui est holomorphe dans tout le plan complexe est appelée fonction entière.
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2 Exemples 3 Propriétés 4 Voir aussi |
Si U est un sous-ensemble ouvert de (voir espace métrique pour la définition d'ouvert) et si est une fonction, alors nous disons que f est dérivable en la variable complexe au point z0 de U si la limite
La limite ici est prise sur toutes les suites de nombres complexes tendant vers z0, et pour toutes ces suites le quotient doit tendre vers un même nombre f '(z0).
Intuitivement, si f est dérivable par rapport à la variable complexe, en z0 et si nous approchons le point z0 dans la direction r, alors les images approcheront le point f(z0) dans la direction f '(z0) r, où le dernier produit est la multiplication des nombres complexes.
Ce concept de dérivabilité partage beaucoup de propriétés avec la dérivabilité réelle:
cette transformation est linéaire et obéit aux règles de la dérivée d'un produit, d'un quotient et des composées.
Si f est dérivable en la variable complexe en tout point z0 de U, alors nous disons que f est holomorphe sur U.
Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle.
(Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).
Toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable par rapport à la variable complexe en tout point. Elle coïncide avec sa série de Taylor et la série est convergente sur tout disque ouvert complètement inclus dans l'ensemble U. La série de Taylor peut converger sur un disque plus large; par exemple, la série de Taylor du logarithme est convergente sur tout disque qui ne contient pas 0, même dans un voisinage des nombres réels strictement négatifs.
Si nous identifions, à , alors les fonctions holomorphes coïncident avec les fonctions de deux variables qui vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système d'équations différentielles aux dérivées partielles.
Près des points en lesquels la dérivée est non nulle, les fonctions holomorphes sont des transformations conformes dans le sens qu'elles préservent les angles et les formes (mais pas les longueurs) de petites figures.
La formule intégrale de Cauchy permet d'affirmer que toute fonction holomorphe à l'intérieur d'un disque, est complètement déterminée par ses valeurs sur la frontière de ce disque.
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existe.Exemples
La fonction logarithme est holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs.
La fonction racine carrée peut être définie par
et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
La fonction inverse est holomorphe sur .
Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manières des coutures et sont holomorphes partout sauf aux coutures.Propriétés
Parce que la dérivation complexe est linéaire et qu'elle obéit aux règles classiques de dérivation, les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe en tout point où le dénominateur ne s'annule pas.
Voir aussi