Exemples d'équations différentielles Article, Signification, Explication
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2 Une oscillation simple non amortie 3 Prise en compte de l'amortissement 4 Voir aussi |
Prenons une masse reliée à un ressort. Il exerce sur celle-ci une force de rappel proportionnelle à l'extension ou la compression du ressort par rapport à sa longueur au repos. Nous négligeons les autres forces : gravité, frottement, etc. Nous pouvons alors décrire l'allongement du ressort à un temps comme une fonction . Cette fonction vérifie alors l'équation différentielle suivante:
Par exemple si nous supposons qu'à l'instant l'extension du ressort est d'une unité de longueur (), et la masse est immobile (). Nous pouvons en déduire
En conséquence est solution de l'équation différentielle étudiée.
Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui est contredit par la seconde loi de la thermodynamique.
Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse () et opposé au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :
C'est un osillateur amorti, et la trajectoire de la masse ressemble à la courbe suivante :
Intégrale, Analyse vectorielle C'est un article concernant le Exemples d'équations différentielles. La page contient la signification du Exemples d'équations différentielles , Description et explication au sujet de Exemples d'équations différentielles Une équation différentielle linéaire
Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires homogènes du premier ordre. Par exemple :
où f(t) est une fonction connue possédant des primitives. Nous pouvons résoudre cette équation en la réorganisant:
où F(t) = ∫f(t) dt. En l'intégrant on obtient
où A est une constante arbitraire. (On peut vérifier que y est solution)Une oscillation simple non amortie
Dont les solutions sont :
Pour déterminer les constantes et , nous utilisons les conditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général à ).
d'où l'on déduit .
et donc .Prise en compte de l'amortissement
Ceci est une équation linéaire du second ordre que nous pouvons résoudre.
En cherchant une solution particulière de la forme , nous constatons que doit vérifier l'égalité suivante :
Si nous avons deux racines complexes , et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :
(Nous pouvons démontrer que )Voir aussi