Espace métrique Article, Signification, Explication

Table of contents

1 Principe 2 Définitions 3 Exemples 4 Pièges

Principe

L'espace métrique est un type particulier d'espace topologique; il correspond au cas fort pratique où on dispose d'une notion de distance sur l'espace.

Définitions

• On appelle distance sur un ensemble , une application telle que:

  ;

  ;

  (inégalité triangulaire).

• On appelle boule (ouverte) centrée en et de rayon , l'ensemble . On la note souvent .
• On appelle boule fermée centrée en et de rayon , l'ensemble . On la note souvent .

• La distance munit d'une topologie, en définissant une partie comme ouverte lorsque: . Un ouvert est donc une partie qui a une certaine « épaisseur » autour de ses points.

Exemples

• distance triviale (ou encore distance discrète): sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est . Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de , c'est-à-dire que pour tout ensemble , est ouvert.

Pièges

• le lien entre une boule fermée et l'adhérence de la boule ouverte correspondante est en général une simple inclusion:

(c'est une chausse-trappe classique de topologie, discutée ici)

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