Espace dual Article, Signification, Explication

L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. Il est en quelque sorte un « reflet » de E.

Définitions

Soit (K,+,x) un corps, E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application telle que :

L'ensemble des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté E*.

Si est un élément de E* et un élément de E, on écrit parfois pour . Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire, on a un moyen naturel de « plonger » E dans E*, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme : à chaque élément de E on associe la forme linéaire . Alors l'application est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E*.

Cas de la dimension finie

Si l'espace E est de dimension finie on sait que l'espace dual E* est isomorphe à E, donc lui aussi de dimension .

Si est une base, on peut définir les applications coordonnées : pour chaque l'application et la i-ème coordonnée sur E dans la base .

Pour chaque on a . Alors est une base de E* dite base duale de .

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