Espace affine Article, Signification, Explication

Table of contents

1 Préambule 2 Définition 3 Vocabulaire et notations 4 La relation de Chasles, corollaire de la définition 5 Structure affine d'un espace vestoriel 6 Sous-espace affine  et  direction 7 Notions connexes

Préambule

En géométrie ( dite affine ), la notion d'espace affine désigne une structure algébrique qui serait un espace vectoriel que l'on aurait privé d'origine. On sort donc du cadre strict de l'algèbre linéaire. Historiquement, cette notion est apparue, lorsque dans un espace euclidien, on ne s'intéresse qu'aux propriétés géométriques ne faisant intervenir ni la notion de longueur ni la notion d'angle.

Définition

Un  - espace affine associé au  - espace vectoriel ,  ( où est un corps ) ,  est un ensemble ,

muni d'une loi de composition externe , notée « » , définie de dans , avec les propriétés suivantes  :

• est non vide

• si et si est le vecteur nul de alors

• si et si alors . Attention : le dernier « » est l'addition dans

• si alors si et seulement si ( l'application : est injective )

• contient uniquement les éléments construits ainsi ( tous les points peuvent être obtenus à partir d'un seul ( par exemple ), l'application : est surjective )

N.B.  :

• Les deuxième et troisième conditions se résument en une seule : la loi externe est une action de groupe de sur

• le point pris arbitrairement comme point de départ dans la définition ne joue aucun rôle particulier et n'est certainement pas l'« origine » de l'espace affine, à moins que l'on appelle tous les points « origine »

Vocabulaire et notations

• Les éléments de sont en général appelés « points », par opposition aux éléments de qui sont appelés « vecteurs »

• Le vecteur tel que ,  où sont des points quelconques de ,  se note  :

• On appelle dimension de , la dimension de

• L'espace vectoriel s'appelle la direction de l'espace affine

La relation de Chasles, corollaire de la définition

• Si sont trois points quelconques ,  alors  :

          ( c'est la relation de Chasles )

Structure affine d'un espace vestoriel

• Un espace vectoriel peut être considéré comme un espace affine associé à lui-même.

Sous-espace affine  et  direction

• Si est un sous-espace vectoriel de et si , alors l'ensemble , c'est-à-dire , est un espace affine associé à l'espace vectoriel ,  appelé sous-espace affine de

• Le sous-espace vectoriel s'appelle la direction de , de même que est la direction de

Notions connexes

• La géométrie affine est tout simplement l'étude des espaces affines
• Une application affine est un morphisme d'espace affine
• C'est dans un espace affine que l'on peut parler de parallélisme

C'est un article concernant le Espace affine. La page contient la signification du Espace affine , Description et explication au sujet de Espace affine