Ensemble vide Article, Signification, Explication

En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble sans élément. C'est une notion importante de la théorie des ensembles.

Table of contents

1 Notation 2 Propriétés 3 Difficultés philosophiques 4 Opérations sur l'ensemble vide 5 Théorie des catégories

Notation

L'ensemble vide peut-être noté Ø (qui dérive de la lettre Ø de l'alphabet norvégien et qui est parfois confondue avec la lettre grecque Φ), ou simplement {}, deux accolades ouvrantes et fermantes ne contenant… rien. La notation Ø a été introduite par le mathématicien français André Weil du groupe Bourbaki.

L'ensemble vide est à l'origine de la construction des entierss et donc des nombres au travers la théorie des ensembles.
Par définition 0 = Ø, 1 = { Ø }, 2 = { Ø,{ Ø } }… n+1 = n ∪ { n }…

Propriétés

• Pour tout ensemble A, l'ensemble vide est un sous-ensemble de A :

  ∀A ensemble, Ø ⊂ A

• Pour tout ensemble A, l'union de A avec l'ensemble vide est A :

  ∀A ensemble, Ø ∪ A = A

• Pour tout ensemble A, l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :

  ∀A ensemble, Ø ∩ A = Ø

• Le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même. :

  ∀A ensemble, A ⊂ Ø ⇒ A = Ø

• Le cardinal de l'ensemble vide est zéro, en particulier l'ensemble vide est fini :

  card Ø = 0

• L'ensemble vide est unique.

Difficultés philosophiques

Concevoir un ensemble vide soulève le même type de difficulté conceptuelle que le nombre zéro.
Néanmoins, l'ensemble vide est apparu à la fin du dans la théorie des ensembles de Georg Cantor et les esprits étaient mûrs pour l'accepter contrairement au nombre zéro apparu 23 siècles auparavant ...

Opérations sur l'ensemble vide

Soit E un ensemble quelconque :

• P(Ø) = { Ø }
• E ∪ Ø = E donc en particulier Ø ∪ Ø = Ø
• E ∩ Ø = Ø donc en particulier Ø ∩ Ø = Ø
• E ∖ Ø = E et Ø ∖ E = Ø donc en particulier Ø ∖ Ø = Ø
• E ∆ Ø = E donc en particulier Ø ∆ Ø = Ø
• E × Ø = Ø et Ø × E = Ø donc en particulier Ø × Ø = Ø
• E = { Ø } donc en particulier Ø = { Ø }
• si E ≠ Ø alors Ø = Ø

Remarque :

Ø est le plus petit des nombres cardinaux et il n'est pas autre chose, dans la théorie des ensembles, que l’entier naturel 0 lui-même.
Autrement dit : Ø = 0
Pour les mêmes raisons, on a { Ø } = 1.
Des égalités ensemblistes ci-dessus, il en résulte que si n est un entier naturel quelconque alors :

• 2 = 1
• n + 0 = n et donc 0 + 0 = 0
• n − 0 = n et donc 0 − 0 = 0
• n × 0 = 0 et donc 0 × 0 = 0
• n = 1 et donc 0⁰ = 1 (à comprendre de la manière suivante : il existe une et une seule application de l'ensemble vide vers l'ensemble vide)
• si n ≠ 0 alors 0ⁿ = 0 (le nombre d'applications d'un ensemble à n éléments dans l'ensemble vide est 0)

On voit que l’égalité « 0⁰ = 1 » est tout à fait fondée dans ce cadre théorique, et n’est qu’une triviale conséquence de la théorie des ensembles et des nombres cardinaux. Néanmoins, avant de l’écrire il convient de s'assurer qu'il n'y a pas ambiguïté quant à la signification que l'on lui donne. En outre, cette égalité est fausse dans le calcul des limitess, où 0 peut représenter toute quantité qui tend vers le nombre 0, c'est-à-dire un infiniment petit.

Théorie des catégories

Si A est un ensemble, alors il existe une unique application de l'ensemble vide vers A : l'application vide.

Dans la catégorie , l'ensemble vide est le seul objet à avoir cette propriété, i.e. l'ensemble vide est le seul objet initial de cette catégorie.

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