Ensemble Article, Signification, Explication
Dans la théorie naïve des ensembles, un ensemble est décrit comme une collection d'objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « a many that can be thought of as a one » -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout. Dans la théorie axiomatique des ensembles, les notions d'ensembles et d'appartenance sont des notions primitives qui ne se définissent pas, mais qui sont régis par des axiomes.
Un ensemble est désigné en général par une lettre romane majuscule, par exemple l'ensemble « E ».
Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn.
Les éléments peuvent être de n'importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l'ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l'ensemble des nombres pairs.
Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis (c'est-à -dire avoir un nombre infini d'éléments).
Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l'un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s'écrit :
Ensembles, éléments et appartenance
Cet énoncé peut se lire :
Le symbole « ∈ », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ».
Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d'un objet à un ensemble :
- « z A » signifie « z n'appartient pas à A ».
Egalité de deux ensembles
Nous définissons l' égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments :
Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l'être aussi par la donnée d'une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l'ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l'ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.
Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l'unique élément :
Singletons et paires
L'existence de cet ensemble est garantie par l'Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l'Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton de a et noté « { a } » (lire « singleton a »).
Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments :
- si a et b sont égaux, nous constatons que, d'après la définition, { a , a } n'est autre que le singleton { a } ;
- si a et b sont distincts, { a , b } est appelé paire de a et de b.
Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d'égalité suivants :
SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s'ils ont le même élément :
Définition d'un ensemble en extension
La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par { lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche }. L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d'éléments donnés par celui d'extensionnalité.
Notons les points suivants :
- Les éléments d'un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l'ensemble { le mètre-étalon, 1, le chat de la voisine, le mot « anticonstitutionnel », Georg Cantor, le 29 février 2000, la planète Mars }, bien qu'il ne semble pas d'un grand intérêt pratique...
- L'ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l'exemple de la fin de la section précédente, { 1, 2 } = { 2, 1 }.
- La répétition d'éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; toujours avec le même exemple, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.
On peut aussi définir un ensemble E par une propriété P caractéristique, c'est-à -dire telle que l'appartenance à E soit équivalente à la vérification de cette propriété.
En notation symbolique :
Par exemple :
Définition d'un ensemble en compréhension
L'ensemble E est noté « { x | P(x) } » (lire « l'ensemble des x tels que la condition P(x) soit vraie »).
L'ensemble est alors dit « défini en compréhension ».
La notation correspondante est appelée constructeur d'ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle.
Cette notation permet certaines variantes :
- { x ∈A | P(x) } désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si est l'ensemble des nombre entiers, alors { x ∈ | x est pair } est l'ensemble de tous les entiers pairs (voir Axiome de séparation).
- { F(x) | x ∈A } désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l'ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l'exemple précédent, { 2x | x ∈ } est encore l'ensemble de tous les entiers pairs (voir Axiome de remplacement).
- { F(x) | P(x) } est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x | x est un chien } est l'ensemble de tous les propriétaires de chiens.
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