Dérivée partielle Article, Signification, Explication

En mathématiques la dérivée partielle d'une fonction est la dérivée par rapport à une de ses variables, les autres étant gardées constantes. Elles sont utiles dans l'analyse en dimension , la géométrie différentielle, et l'analyse vectorielle.

On représente la dérivée partielle par rapport à la variable x par ou ou encore par f_x (où est appelé d rond, symbole de la dérivation partielle).

Si f est une fonction de x₁, ..., x_n et dx₁, ..., dx_n sont les accroissements infinitésimaux de x₁, ..., x_n respectivement, alors l'accroissement infinitesimal correspondant de f est :

Cette quantité est « différentielle totale » de f; chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de f.

Table of contents

1 Exemple 2 Notation 3 Définition formelle et propriétés 4 Voir aussi

Exemple

Considérons le volume d'un cône V ; il dépend de la hauteur h et du rayon de la base r suivant la formule

La dérivée partielle de V par rapport à r est

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.

La dérivée partielle par rapport à h est

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

Les équations faisant intervenir des dérivées partielles sont appelées des équations aux dérivées partielles que l'on rencontre partout en sciences.

Notation

Soit f une fonction de x, y et z.

Les dérivées partielles premières sont :

et celles du second ordre :

Celles du second ordre impliquant deux variables s'écrivent:

et à des ordres supérieurs :

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifer celles qui sont maintenues constantes.

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de par rapport à x, y et z étant maintenus constants, est souvent notée :

Définition formelle et propriétés

Tout comme pour les dérivées « ordinaires », les dérivées partielles sont définies à partir des limites. Soit U un sous-ensemble ouvert de Rn et f : U -> R une fonction. Nous définissons la dérivée partielle de f au point a'=(a₁,...,a_n)∈U par rapport à la i-ème variable x_i comme

Même si toutes les dérivées partielles existent à un point donné a, la fonction peut ne pas être continue. Toutefois, si toutes les dérivées partielles existent dans un voisinage de a et sont continues, alors f est totalement différentiable dans ce voisinage et la différentielle totale est continue. Dans ce cas, nous disons que f est une fonction de classe C¹.

La dérivée partielle peut être considérée comme une autre fonction définie sur U, et peut donc encore être dérivée. Si toutes les dérivées secondes de f dont continues, f est une fonction de classe C². L'ordre de dérivation peut alors être changé sans modifier le résultat :

Le vecteur dont les composantes sont les dérivée partielles de f en un point a donné est appellé gradient de f au point a:

Si f est une fonction de classe C¹, alors le gradient de f a une interprétation géométrique : c'est la direction selon laquelle f varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Voir aussi

• rotationnel
• gradient

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