Déformation élastique Article, Signification, Explication
La déformation élastique est une déformation réversible et linéaire :
- réversible signifie que le milieu retourne à son état initial lorsque l'on supprime les sollicitations ;
- linéaire signifie que la déformation est proportionnelle à la sollicitation. Ainsi l'allongement est proportionnel à la force dans le cas d'un étirement, et l'angle de torsion est proportionnel au couple dans le cas d'une torsion.
Notons que la notion d'élasticité n'est pas spécifique à la mécanique des milieux continus et qu'en physique, d'une manière générale, on parle d'interaction élastique lorsqu'il y a la conservation d'une grandeur. Par exemple, dans un choc élastique, les objets s'échangent leur énergie cinétique, mais il n'y a pas de perte par frottement ou par déformation résiduelle (de fait, la déformation est élastique). Dans le cas de l'interaction d'un atome avec un rayonnement électromagnétique, on parle de diffusion élastique lorsque le rayonnement conserve la même longueur d'onde (diffusion Rayleigh).
Un gaz est constitué de molécules qui volent et s'entrechoquent. Elles se cognent également aux parois du récipient contenant le gaz, ce qui crée la pression. L'énergie cinétique moyenne d'une molécule est proportionnelle à la température absolue (en Kelvin) :
Cas des gaz
k étant la constante de Boltzmann.
La pression du gaz sur les parois dépend donc du nombre de chocs par seconde et de la force de chaque choc, cette force dépendant de l'énergie cinétique. Si l'on diminue le volume de l'enveloppe en maintenant la température constante (compression isotherme), on augmente la fréquence des chocs donc la pression. À l'inverse, si l'on agrandit l'enveloppe, on diminue la fréquence des chocs, et donc on diminue la pression. Ceci se retrouve dans les lois de comportement des gaz, par exemple dans la loi des gaz parfaits, la pression est inversement proportionnelle au volume :
- P = A/V
- F = PS = A/l
- ΔF ≈ -A/l02(l-l0)
On a bien un comportement élastique pour les gaz isothermes soumis à de faibles variations de volume.
Le cas le plus simple de déformation élastique est celui des ressorts.
Sur les dessins, nous n'avons pas représenté la réaction du support auquel est accroché le ressort. Mais il faut bien voir que la déformation résulte de l'application de deux forces opposées ; s'il n'y a qu'une seule force, en application du principe fondamental de la dynamique, la force accélère le ressort sans provoquer de déformation, on se ramène à la mécanique du point.
Lorsque les lois de déformation sont linéaires, le coefficient de proportionnalité est appelé raideur du ressort et est noté k :
Dans le cas d'un ressort à spires non-jointives, l'énergie de déformation élastique W est le travail de la force
Déformation élastique des solides
Exemple des ressorts
Trois exemple de ressorts : ressort à spires non-jointives sollicité selon son axe (fig. de gauche), ressort à lame sollicité en flexion (au centre), ressort à lame sollicité en torsion (à droite)
On remarque que les coefficients k1, k2 et k3 ne sont pas homogènes (ils n'ont pas la même dimension). L'angle θ doit être exprimé en radians.
C'est donc la surface du triangle délimité par la droite dans le graphique (Δl,F), soit
Illustration graphique de l'énergie de déformation élastique dans le cas d'un ressort à spires non-jointives
Note : sur la première figure, nous avons utilisé un graphique montrant la déformation en fonction de la force, par exemple (F,Δl). Sur la deuxième figure, nous avons inversés les axes et représentée la force en fonction de la déformation (Δl,F). Si la première représentation nous semble plus intuitive (on se représente la force comme la cause de la déformation), les deux sont équivalente. C'est de fait la seconde, (Δl,F), qui est la plus utilisée, les essais de traction se faisant à déformation imposée croissante (voir l'explication dans l'article l'article essais mécaniques).
La déformation élastique intervient pour les faibles sollicitations. Si l'on augmente les sollicitations, on change le mode de déformation :
On utilise deux modèles de déformation élastique : la traction-compression et le cisaillement. La flexion peut se modéliser selon les cas comme une traction-compression ou comme un cisaillement, la torsion se modélise comme un cisaillement (voir plus bas).
Prenons le cas de la traction ou de la compression d'une pièce cylindrique ou parallélépipédique selon son axe. La traction-compression correspond à des forces s'exerçant perpendiculairement aux sections de ces pièces ; elle est dite uniaxiale car les côtés de la pièce ne sont pas contraints, toutes les forces sont sur un même axe.
En prenant des pièces de différentes dimensions, on remarque que pour une force donnée :
La loi élastique s'écrit alors :
On voit aisément que la densité d'énergie de déformation w, c'est-à -dire l'énergie élastique divisée par le volume de la pièce, vaut :
Lorsque l'on exerce une traction ou une compression, on constate que la largeur de la pièce varie également, à l'inverse de l'allongement. La variation relative de dimension est proportionnelle à l'allongement relatif ε, le coefficient de proportionnalité s'appelle le module de Poisson (Poisson's ratio en anglais) et est noté ν :
Considérons le volume de la pièce. Pour une pièce cylindrique, on a
Si maintenant on maintient la largeur constante — par exemple on effectue une compression mais la pièce est dans une gaine ultra-rigide et ne peut pas s'étendre —, alors, la déformation n'est plus uniaxiale, la gaine exerce une pression (une contrainte) sur les côtés de la pièce. Il faut alors utiliser un autre coefficient élastique, noté C11, différent de E :
Si l'on considère un parallélépipède rectangle, le cisaillement est une variation de l'angle, qui n'est plus droit. Cela correspond à des forces s'exerçant paralèllement à la face.
On définit de même la contrainte comme étant la force divisée par la surface sur laquelle elle s'exerce ; cette contrainte est appelée cission (toujours exprimée en MPa) et est notée τ.
La déformation est l'écart à l'angle droit γ, appelé cisaillement, exprimé en radian.
On a toujours une loi linéaire :
Une compression isostatique est l'exercice d'une pression isotrope, c'est-à -dire qui a la même valeur dans toutes les directions. Si l'on désigne par V le volume de l'objet, la variation de volume relative est proportionnelle à la variation de la pression P :
Limite d'élasticité
La contrainte délimitant le domaine élastique des autres domaines est appelée limite d'élasticité (yield strength en anglais).Contrainte et déformation
Traction-compression uniaxiale
Allongement dans l'axe
ceci se conçoit bien : si l'on met deux ressorts identiques bout-à -bout, le premier ressort transmet intégralement la force au second ressort, les deux s'alongent donc de la même quantité ; donc si avec un ressort on a un allongement Δl1, avec deux ressorts l'allongement total est 2Δl1 ;
on conçoit également aisément que si l'on met deux ressorts identiques en parallèle, chaque ressort exercera la moitié de la force de traction, l'allongement final sera donc Δ1/2 ; si l'on double la section de la pièce, c'est comme si l'on mettait deux pièces côte-à -côte.
Si l'on veut caractériser le matériau en faisant abstraction de la forme de la pièce et de ses dimensions, on définit donc :
c'est la loi de Hooke ; E est le module de Young (Young modulus en anglais), qui est une caractéristique du matériau. E est également homogène à une pression, du fait des valeurs très élevées qu'il prend, il est généralement exprimé en giga-pascal (GPa).Élargissement
pour des petites variations, on a donc
(développement limité au premier ordre), soit
De même pour une pièce parallélépipédique, on a
donc de même
on voit donc que :
Pour un acier, ν vaut environ 0,3, on est donc dans le second casCisaillement
où G est le module de cisaillement, exprimé en GPa.
Note : dans l'article Tenseur des déformations, l'angle γ défini vaut la moitié de l'angle γ défini ici.
Compression isostatique
où K est le module d'incompressibilité (bulk modulus).
On remarque que K est l'inverse du coefficient de dilatation isotherme αT défini en thermodynamique :
K est aussi homogène à une pression et est exprimé en giga-pascal (GPa).
On a :
| matériau | K
|
|---|---|
| acier | 160 GMPa |
| eau | 2,2 GPa |
La définition que l'on a prise de ε dépend du trajet suivi. Considérons une déformation finale de ε1 + ε2. Si l'on fait la déformation en une étape, la longueur finale est
Pour les grandes déformations, on peut utiliser une autre définition de ε :
De manière générale, toute loi peut localement (c'est-à -dire pour de petites variations) se remplacer par un développement limité du premier ordre, ou « approximation linéaire », à condition que la tangente de la loi ne soit pas horizontale autour du point considéré. Les lois élastiques sont donc des approximations linéaires du comportement réel, plus complexe.
Plus précisément, l'explication de la linéarité se trouve dans la forme du potentiel interatomique W(r), où r est la distance entre deux atomes.
À une température de 0 K, la distance entre deux atomes est r0. Si l'on s'éloigne un peu de cette valeur, l'énergie W augmente ; on peut localement approcher la loi de W par une parabole (ill s'agit en fait d'un développement limité au second ordre), on peut donc écrire :
La force étant la dérivée de l'énergie potentielle, on voit que les atomes sont soumis à une force de rappel (qui tend à faire revenir à r0) qui vaut :
Nous avons vu jusqu'ici des exemples de déformation simples : traction uniaxiale, cisaillement, compression isostatique, sur un parallélépipède rectangle. Les applications réelles correspondent à des pièces et des sollicitations plus complexes, nécessitant de décrire la déformation et les contraintes par des matrices, des tenseurs, voir les articles :
C'est un article concernant le Déformation élastique. La page contient la signification du Déformation élastique , Description et explication au sujet de Déformation élastique Cas des grandes déformations
Si par contre on déforme d'abord de ε1, on a une première longueur
qui devient la longueur initiale pour l'étape suivante, donc lorsque l'on rajoute une déformation ε2, on obtient
En développant cette dernière formule, on voit que les deux sont équivalentes si
soit, de manière synthétique, si
c'est l'hypothèse des petites déformations.
on voit que si l et l0 sont proches, le développement limité de cette formule redonne la définition de ε des petites déformationsPourquoi les lois sont-elles linéaires ?
qui est bien une loi linéaire.Déformations complexes
Voir aussi