Critère de divisibilité Article, Signification, Explication
Un critère de divisibilité est une technique ou une astuce de calcul pour déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre. Malgré leur apparence de « recette de cuisine », les critères de divisibilités sont basés sur des démonstrations mathématiques, et il est possible d'en trouver soi-même pour n'importe quel nombre. La notion de congruence est essentielle pour déterminer des critères de divisibilité.Le symbole utilisé dans l'article est l'opérateur de l'addition, il se nomme sigma.
Cet article considère uniquement les critères de divisibilités des nombres entiers naturels.
Pour chercher un critère de divisibilité du nombre p en base 10, il suffit de chercher un multiple de p ayant une différence de 1 avec un multiple de 10.
Quand nous mentionnerons qu'il faut ajouter ou retrancher un chiffre, il s'agit du dernier qui est retranché au reste du nombre, par exemple pour 7485 et la divisibilité par 7, on retranche 2 × 5 à 748 et on recommence avec le résultat ainsi formé.
Exemples :
On pose :
Si a est multiple de 2, on obtient :
or donc :
Donc pour qu'un nombre soit divisible par deux, son dernier chiffre doit être un multiple de 2.
Exemples
On pose :
Si a est multiple de 3, on obtient :
or soit :
Donc la somme des chiffres du nombre doit être un multiple de 3 pour que ce nombre soit divisible par 3.
Démonstration
Démonstration
Exemple
Exemple
7416 : 741 – 2 × 6 = 729, 72 – 2 × 9 = 54 or 54 n'est pas un multiple de 7 donc 7416 n'est pas un multiple de 7.
Démonstration
Ceci étant dit, supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un très grand nombre de chiffres est divisible par 7.
Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 7, alors le grand nombre considéré est divisible par 7.
Bien sur pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 7, on peut utiliser le début de ce paragraphe.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 5527579818992.
On le sépare par tranche de trois à partir des unité.
5 | 527 | 579 | 818 | 992.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
5 - 527 + 579 - 818 + 992.
On effectue l'opération ainsi écrite.
5 - 527 + 579 - 818 + 992 = 231
On regarde si 231 est divisible par 7 à l'aide de ce qui a été dit au début du paragraphe.
23 - 2×1 = 21
21 est divisible par 7 donc 5527579818992 est divisible par 7.
Exemple
Démonstration
Exemple
On peut aussi séparer le nombre par tranche de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et effectuer l'opération obtenue.
En reprenant l'exemple précédent 19382, on obtient :
1 + 93 + 82 = 176
Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
1 + 76 = 77
77 est divisible par 11 donc 19382 est divisible par 11.
Exemples
Exemple
7416 : 741 + 4 × 6 = 765, 76 + 4 × 5 = 96 or 96 n'est pas un multiple de 13 donc 7416 n'est pas un multiple de 13.
Ceci étant dit, supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un très grand nombre de chiffres est divisible par 13.
Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 13, alors le grand nombre considéré est divisible par 13.
Bien sur pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 13, on peut utiliser le début de ce paragraphe.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 1633123612311854.
On le sépare par tranche de trois à partir des unité.
1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854.
On effectue l'opération ainsi écrite.
1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854 = -1664
Le résultat est négatif. Ce n'est pas grave. On prend sa valeur absolue 1664
On regarde si 1664 est divisible par 13 à l'aide de ce qui a été dit au début du paragraphe.
166 + 4×1 = 182
Le résultat est trop grand. On recommence avec 182.
18 + 4×2 = 26
26 est divisible par 13 donc 1633123612311854 est divisible par 13.
Un nombre est divisible par 17 si son nombre de dizaines moins cinq fois son chiffre des unités est divisible par 17.
Exemples
221 est divisible par 17 car 22 – 5 × 1 = 17 et 17 est divisible par 17 (17 × 1 = 17)
D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 17 connu.
Exemple
7416 : 741 – 5 × 6 = 711, 71 – 5 × 1 = 66 or 66 n'est pas un multiple de 17 donc 7416 n'est pas un multiple de 17.
Ceci étant dit, supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un très grand nombre de chiffres est divisible par 17.
Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 8 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 17, alors le grand nombre considéré est divisible par 17.
Bien sur pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 17, on peut utiliser le début de ce paragraphe.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 416521368699986479153682401.
On le sépare par tranche de 8 à partir des unité.
416 | 52136869 | 99864791 | 53682401.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
416 - 52136869 + 99864791 - 53682401.
On effectue l'opération ainsi écrite.
416 - 52136869 + 99864791 - 53682401 = -5954063
Le résultat étant négatif, on prend la valeur absolue 5954063
On regarde si 5954063 est divisible par 17 à l'aide de ce qui a été dit au début du paragraphe.
595406 - 5×3 = 595391
59539 - 5×1 = 59534
5953 - 5×4 = 5933
593 - 5×3 = 578
57 - 5×8 = 17
Le résultat est divisible par 17 donc 416521368699986479153682401 est divisible par 17.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 48822138835949515214962479.
On le sépare par tranche de neuf chiffres à partir des unités.
48822138 | 835949515 | 214962479.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
48822138 - 835949515 + 214962479
On effectue l'opération ainsi écrite.
48822138 - 835949515 + 214962479 = -572164898
Le résultat n'ayant que 9 chiffres,on vérifie aisément à l'aide d'une calculatrice que 572164898 est divisible par 19 (alors que ce n'était pas possible au départ avec le nombre de 26 chiffres sur la plupart des calculatrices) donc 48822138835949515214962479 est divisible par 19.
Démonstration
Prenons un exemple : 68748098828632988661 est-il divisible par 27 ?
On effectue l'opération :
68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4023
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois
4 + 023 = 27
On trouve un résultat divisible par 27 donc 68748098828632988661 est divisible par 27.
Prenons un exemple : 19375414619668141953881 est-il divisible par 37 ?
On effectue l'opération :
19 + 375 + 414 + 619 + 668 + 141 + 953 + 881 = 4070
Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois
4 + 070 = 74
74 est divisible par 37 donc 19375414619668141953881 est divisible par 37.
Prenons un exemple : 2136561442277796449261 est-il divisible par 41 ?
On effectue l'opération :
21 + 36561 + 44227 + 77964 + 49261 = 208034
Le résultat ayant plus de 5 chiffres, on peut recommencer une fois
2 + 08034 = 8036
On vérifie aisément que 8036 est divisible par 41 donc 2136561442277796449261 est divisible par 41.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 410690207551027101452.
On le sépare par tranche de quatres chiffres à partir des unités.
4 | 1069 | 0207 | 5510 | 2710 | 1452.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452
On effectue l'opération ainsi écrite.
4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452 = 5110
On vérifie aisément que 5110 est divisible par 73 donc 410690207551027101452 est divisible par 73.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 5517208188911037227.
On le sépare par tranche de 2 chiffres à partir des unités.
5 | 51 | 72 | 08 | 18 | 89 | 11 | 03 | 72 | 27.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27
On effectue l'opération ainsi écrite.
5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27 = 0
0 est divisible par 101 donc 5517208188911037227 est divisible par 101.
On trouvera souvent 0 comme résultat de ce calcul si le nombre de départ est divisible par 101 car on soustrait et on additionne alternativement des nombre de deux chiffres et on peut alors difficilement tomber sur un multiple de 101 autre que 0.
Prenons un exemple.
Soit le nombre 21690792736157732104.
On le sépare par tranche de quatres chiffres à partir des unités.
2169 | 0792 | 7361 | 5773 | 2104.
On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.
2169 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104
On effectue l'opération ainsi écrite.
2169 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104 = 5069
On vérifie aisément que 5069 est divisible par 137 donc 21690792736157732104 est divisible par 137.
Le tout est de tirer profit de la décomposition du nombre en somme des produits par 10. Si à partir d'un certain rang , est divisible par le diviseur , le suivant le sera aussi, car et donc seuls les chiffres d'un rang strictement inférieur à auront une influence sur la divisibilité de ce nombre par .
Mais il est aussi possible que ce critère ne soit pas simple du tout voire absolument pas pratique ou impossible à retenir. Par exemple pour la divisibilité par 7, on pose:
Si a est multiple de 7 on a :
or :
Si un chiffre moins son dernier chiffre divisé par 10 moins 2 fois ce dernier chiffre est divisible par 7, alors ce chiffre est divisible par 7.
Voilà qui simplifie un peu le problème de la divisibilité par 7.Exemples de critères de divisibilité
Exemple général
par 2
avec et par 3
On peut généraliser en disant que
avec et par 4
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.
Exemples
par 5
Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.par 6
Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 ET par 3.par 7
Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est divisible par 7.
D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 7 connu.
alors comme , on a et le théorème de Gauss nous donne, 7 étant premier avec 10, que a – 2b est divisible par 7.
Si a – 2b est divisible par 7, 10a – 20b aussi, et donc 10 a + b également.par 8
Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Démonstration
par 10
Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.par 11
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.
Autre méthode :par 12
Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.par 13
Un nombre est divisible par 13 si son nombre de dizaines plus 4 fois son chiffre des unités est divisible par 13.
D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 13 connu.par 14
Un nombre est divisible par 14 si il est à la fois divisible par 7 et par 2.par 15
Un nombre est divisible par 15 si il est à la fois divisible par 3 et par 5.par 16
Un nombre est divisible par 16 si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.par 17
par 18
Un nombre est divisible par 18 si il est divisible à la fois par 9 et par 2.par 19
Pour savoir si un nombre est divisible par 19, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 9 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 19, alors le nombre considéré est divisible par 19.par 20
Un nombre est divisible par 20 si le chiffre des unités est 0 et si le chiffre des dizaines est pair.par 21
Un nombre est divisible par 21 s'il est à la fois divisible par 7 et par 3par 22
Un nombre est divisible par 22 s'il est à la fois divisible par 11 et par 2par 24
Un nombre est divisible par 24 s'il est à la fois divisible par 8 et par 3par 25
Un nombre est divisible par 25 si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75.par 26
Un nombre est divisible par 26 s'il est à la fois divisible par 13 et par 2par 27
Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 27, alors le nombre est divisible par 27par 28
Un nombre est divisible par 28 s'il est à la fois divisible par 7 et par 4par 30
Un nombre est divisible par 30 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et s'il se termine par 0.par 37
Pour savoir si un nombre est divisible par 37, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 37, alors le nombre est divisible par 37par 41
Pour savoir si un nombre est divisible par 41, on le sépare par groupe de 5 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 41, alors le nombre est divisible par 41par 73
Pour savoir si un nombre est divisible par 73, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 73, alors le nombre considéré est divisible par 73.par 101
Pour savoir si un nombre est divisible par 101, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 2 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 101, alors le nombre considéré est divisible par 101.par 137
Pour savoir si un nombre est divisible par 137, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.
On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 137, alors le nombre considéré est divisible par 137.Pour un nombre quelconque
On peut aussi essayer de trouver un motif, par exemple, lorsque l'on retrouve deux fois le même nombre comme congruence, on peut en extrapoler la suite, étant donné que l'on l'a déjà calculée.
avec et
Et là , comme vous l'aurez remarqué, ne se simplifie pas du tout.
On peut déduire que le critère de divisibilité est si :
avec :
pour
pour
pour
pour
pour
pour
et :
pour
pour
pour
pour
pour
pour
etc.
D'où l'absence d'utilité d'un tel critère, qui ne devient intéressant que lorsque l'on commence à travailler avec des nombres ayant beaucoup de chiffres.
Cependant, dans un cas comme celui là , on peut se dire qu'en simplifiant le problème peu à peu, il est possible de savoir si un chiffre est ou non divisible par 7 de tête
car si l'on reprend du début :
On en déduit :
et que consequemment :