Continuité Article, Signification, Explication
La notion de continuité sert à décrire les phénomènes qui ne sautent pas brutalement, mais évoluent progressivement. Elle est définie de manière rigoureuse en mathématiques.
Intuitivement, une fonction dont on peut dessiner le graphe (donc à variable réelle) est continue si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon.
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2 Définition dans le cas des espaces métriques 3 Définition pour les fonctions réelles 4 Exemples 5 Voir aussi |
On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.
La définition locale (c'est-à -dire pour un point) de la continuité repose sur la notion mathématique de limite. Une fonction sera dite continue en un point a si sa limite en a est égale à sa valeur en a.
Plus formellement, étant donnés deux espaces topologiques et , un point , et une application , on dira que est continue au point si et seulement si :
La fonction est dite continue (tout court, ou continue sur ) si et seulement si elle est continue en tout point a de .
Contrairement à la définition locale, la définition globale ne permet pas de caractériser les fonctions continues en un point particulier, mais seulement celles qui sont continues sur l'espace entier. On peut la considérer comme une propriété découlant de la première définition.
Une application continue d'un espace topologique dans un espace topologique est une application telle que l'image réciproque de tout ouvert (resp. un fermé) de l'espace d'arrivée soit un ouvert (resp. un fermé) de l'espace de départ.
Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, car si on considère un point du départ et son image à l'arrivée, on sait que tout un voisinage de ce point de départ doit arriver au voisinage du point d'arrivée !
Soit et deux espaces métriques.
Soit un intervalle réel.
Soit et .
La fonction Æ’ est continue en si :
C'est un article concernant le Continuité. La page contient la signification du Continuité , Description et explication au sujet de Continuité Définition générale (espaces topologiques)
Définition locale
Définition globale
Définition dans le cas des espaces métriques
Soit et .
est continue en si :
Ainsi est continue en si et seulement si la limite de en existe et vaut .Définition pour les fonctions réelles
C’est-à -dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que ƒ(x) est à une distance inférieure à ε de ƒ(a). Cela s'écrit également :
Une fonction discontinue présente des « sauts ».Exemples
Et en effet, le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur , l'espace des polynômes réels, où la norme d'un polynôme est la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Prenons la famille de polynômes . Tous ces polynômes sont de norme 1. Pourtant leurs dérivées sont de la forme , donc de norme avec arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.
Voir aussi