Construction des nombres réels Article, Signification, Explication
Il existe différentes constructions des nombres réels, dont deux méthodes rigoureuses présentées ci-dessous
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2 Construction par coupures de Dedekind 3 Construction via suites de Cauchy |
Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale , où est un entier, chaque est un chiffre entre 0 et 9, et la séquence ne se termine pas par une infinité de 9. La définition de est alors le nombre qui satisfait cette double inéquation pour tout k:
Construction intuitive à partir des nombres rationnels
Construction par coupures de Dedekind
Une coupure de Dedekind dans le corps des rationnels est un couple de 2 sous-ensembles non-vides A et B tels que:
On voit ainsi que tout nombre rationnel a définit deux coupures :
- (A,B) telle que A est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à a et B l'ensemble des rationnels supérieurs ou égaux à a
- (A',B') telle que A' est l'ensemble des rationnels inférieurs ou égaux à a
On munit l'ensemble des coupures d'un ordre total tel que les coupures définies par un nombre rationnel sont ordonnées dans le même ordre que ces rationnels, et d'une structure d'anneau compatible avec celle de ces même rationnels.
Pour construire , on va postuler pour toute coupure (A,B), l'existence d'un nombre qui est supérieur à tout rationnel de A et inférieur à tout rationnel de B.
Ainsi, on a construit un ensemble totalement ordonné dont l'ordre, qui est celui des coupures qu'il définit, étend celui de qu'il contient.
possède les propriétés algébriques d'anneau définies sur les coupures et étend en tant qu'anneau. On démontre de plus que l'anneau défini ainsi est un corps de caractéristique nulle qui étend la structure de corps de .
Construction via suites de Cauchy
Cette construction est la plus difficile à aborder, mais la plus rigoureuse et celle communément utilisée dans la construction des mathématiques.
Il faut prendre garde à un point : lorsque l'on fait tendre quelque chose vers une limite ici, c'est par des rationnels que l'on va encadrer, car on ne dispose pas encore des réels!
On va dans un premier temps considérer l'ensemble des suites rationnelles de Cauchy.
On plonge dans via les suites constantes. On notera la suite constante égale à .
On munit cet ensemble d'une 'addition' et d'une 'multiplication', définies par:
L'ensemble muni de ces deux lois de composition internes est un anneau unitaire, étant son élément neutres et son unité.
Tous les éléments ne sont pas inversible; par exemple toute suite contenant un zéro est non-inversible. Pour les suites qui ne tendent pas vers (et dont on est donc sûr qu'elles ne s'annulent qu'un nombre fini de fois), on peut définir une autre suite, que l'on note comme suite inverse (bien que ça n'en soit pas une):
On définit une relation d'équivalence entre deux éléments et de par:
Définition en tant que corps
(Il convient de s'assurer que ces opérations définissent bien des éléments de , ce qui est effectivement le cas).
là où elle est non-nulle, et zéro là où elle l'est. C'est bien un élément de notre espace .
Il est clair qu'elle est compatible avec les lois données; donc l'ensemble quotient, qui est le cherché, est toujours un anneau unitaire, mais c'est même un corps : en effet toute suite non-nulle dans le quotient, provient d'une suite de Cauchy qui ne converge pas vers ; et pour ces dernière, le presque-inverse devient, lors du passage au quotient, un véritable inverse.
Si est une suite de Cauchy rationnelle, est une suite de Cauchy rationnelle ; il est clair que cela définit une valeur absolue sur .
Avant de parler de densité des rationnels dans les réels, on va montrer que les rationnels peuvent être vus comme des réels : on identifie chaque rationnel à la classe d'équivalence de sa suite constante. Cette identification respecte bien la structure de corps de , et respecte aussi sa valeur absolue.
On peut maintenant parler de denstié, et on va prouver que si , il existe une suite de rationnels qui converge vers .
Soit une suite de Cauchy de rationnels représentant . Il n'est pas très difficile de voir que la suite des classes d'équivalence des suites constantes: converge vers .
En particulier, maintenant que l'on connaît cette densité, on sait que l'on peut parler de limite en termes de comparaison rationnelle comme de comparaison réelle : ces définitions sont équivalentes.
Soit une suite de Cauchy réelle. On veut montrer que cette suite converge.
Soit une suite de Cauchy rationnelle représentant . On va construire la limite cherchée via l'argument de la diagonale de Cantor. C'est un article concernant le Construction des nombres réels. La page contient la signification du Construction des nombres réels , Description et explication au sujet de Construction des nombres réels Valeur absolue
Densité des rationnels
Complétude