Connexité par arcs Article, Signification, Explication
La notion topologique de connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin.
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2 Connexité par arcs 3 Voir aussi |
Avant de définir la connexité par arcs il faut définir ce qu'on appelle « relier par un chemin ». Selon le cadre où l'on se trouve on peut considérer des chemins particuliers.
Si est un espace topologique et si et sont deux points de , on appelle chemin d'origine et d'extrémité toute application continue telle que et .
On dit que et sont reliés si et seulement si il existe un chemin d'origine et d'extrémité .
Propriété : La relation « est relié à » est une relation d'équivalence :
Dans le cas où l'espace ambiant est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.
Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.
Un espace topologique est dit connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de est relié par un chemin.
Une partie de est dite connexe par arcs si et seulement tout couple de points de sont relié par un chemin restant dans .
Une partie d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (resp. par arcs ) si deux points quelconques de peuvent être reliés par un chemin polygonal (resp. de classe ).
La connexité par arcs rectilignes correspond à la convexité.
En apparence la connexité par arcs est très proche de la connexité ; on pourrait croire que « pouvoir toujours relier deux points » est équivalent à « être d'un seul tenant ». En fait on peut seulement affirmer : tout espace connexe par arcs est connexe.
La différence est subtile, est il est difficile d'exhiber un contre-exemple pour invalider la réciproque. Le contre-exemple classique est le suivant :
La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues.
En effet si et sont deux espaces topologiques, et si est une application continue, alors pour toute partie connexe par arcs de , l'image est elle aussi connexe par arcs.
Si on peut trouver et dans tels que et , et un chemin reliant à . Alors l'application composée est continue, et relie à .
On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :
C'est un article concernant le Connexité par arcs. La page contient la signification du Connexité par arcs , Description et explication au sujet de Connexité par arcs Chemins
Chemins dans un espace topologique
(grâce au chemin constant )
(grâce au chemin opposé )
(si relie à et relie à alors le chemin composé défini par si et si relie à )Chemins dans un espace vectoriel normé
Connexité par arcs
Définition
Lien avec la connexité
Alors est connexe comme graphe d'une fonction continue, est connexe comme adhérence d'une partie connexe. Mais on peut montrer que n'est pas connexe par arcs.Lien avec la continuité
Exemples
Voir aussi