Calculs relativistes Article, Signification, Explication
Cet article présente des calculs menés en suivant la théorie de la relativité restreinte.
Soient deux référentiels et , ce dernier étant en translation rectiligne par rapport à à la vitesse v selon l'axe Ox, et les axes des deux référentiels restant parallèles. Lorsque l'on passe du premier référentiel au second, les coordonnées sont liées par la transformation de Lorentz :
Presque tout se déduit des transformations de Lorentz, ce qui fait dire que, en Relativité Restreinte, il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements « fumeux » ! Noter que les transformations ci-dessus sont identiques aux transformations de Galilée pour les vitesses usuelles et cependant détruisent la notion du temps universel puisque celui-ci devient dépendant du référentiel: le temps varie comme la position varie.
Le temps est une coordonnée pour exprimer les lois de la physique et celles-ci deviennent covariantes lorsque on les exprime avec un espace à 4 dimensions (ct, x, y, z);
On va donc ci-dessous développer une page de calculs permettant de déduire des conséquences :
On repère un événement par les coordonnées d'un vecteur dans un repère à 4 dimensions c temps-espace
on montre facilement que:
Soient deux référentiels, celui du laboratoire au repos, et en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des x positifs à la vitesse v.
Nous considérons un horloge au repos dans au point O', émettant deux clocks, nous considérons donc les évènements suivants dans : et
On obtient alors : et
La durée entre deux clocks dans le référentiel est :
La quantité s'appelle le temps propre du référentiel . Comme , on voit que la quantité est un invariant relativiste ne dépendant pas du référentiel choisi pour la calculer.
Le facteur qui intervient dans la dilatation des durées, a, pour un avion, une valeur approchée de 1 + v²/2c² soit 1+10^(-10) =1.0000000001
Quelques microsecondes sur un an de vol de supersonique! Difficile de croire à la réalisation d'une mesure de la dilatation du temps en comparant l'indication d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion. Néanmoins les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennemnt l'effet de la dilatation du temps T= γ T'.
Cependant, les horloges atomiques embarquées dans les satellites des systèmes GPS sont qualibrées de façon à ce que leurs indications soient compatibles avec des horloges restées sur Terre.
Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Mesurer une longueur M1M2 revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M1 et M2 ;
Cela ne pose pas de problème si celles-ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse v, il faudra repérer ces deux extrémités simultanément.
Nous considérons donc une règle au repos dans , de longueur au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont et . Les évènements de ses extrémités sont : et , car il faut observer simultanément ces évènements dans .
Considérons maintenant les évènements et , on obtient dans :
Ainsi un coureur R' de 100m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de T'0=10s sur une piste de L0 = 100m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse v sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L'=L0/γ ; par contre pour le juge de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait L0 = 100m en longueur propre et le temps est T=γT'0 c'est-à -dire dilaté.
Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse v = L'/T'0= L0/T.
Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100m, toutes ces différences sont imperceptibles.
Les effets relativistes ne sont perceptibles que à l'échelle nucléaire ou à l'échelle galactique.
On se reportera au paragraphe ci-dessous pour le cas plus général où les vitesses u et v ne sont pas colinéaires.
Ces relations peuvent s'écrire différemment si en calculant
Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.
où:
A un instant t donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à . Considérons alors un référentiel se déplaçant à la vitesse constante v qui coïncide à l'instant t avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant t. Dans ce référentiel , au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant t', sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération dans le repère . Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'applique à cet instant, et que l'accélération est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que , l'accélération de la particule M dans le référentiel à l'instant t est .
Si, à chaque instant t, on redéfinit le référentiel coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante et une accélération dans le référentiel égale à :
On remarque que la variation d'énergie depuis l'instant initial est :
Pour exprimer le quadrivecteur énergie impulsion d'une particule de masse m0 se déplaçant à la vitesse , il suffit de considérer une masse m0 et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse. En mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse, obtenant ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion :
Dans la définition du quadrivecteur, on a posé :
Si sont les composantes de dans le référentiel et si sont ses composantes dans le référentiel en translation de vitesse v par rapport à , alors on trouve que :
En particulier, si la vitesse V du point mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse v du référentiel , alors , par contre les deux autres composantes sont différentes.
En écrivant que et en projetant cette relation sur deux axes, on obtient, en notant Vx et Vy les composantes de sa vitesse V à l'instant t :
On peut retrouver les solutions de la mécanique galiléenne en augmentant indéfiniment la valeur de c, ce qui donne :
A partir des relations :
Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ électrique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ magnétique. Ce champ n'est que l'effet relativiste du changement de référentiel.
On notera que
Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ
magnétique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ électrique. Ce champ
est là aussi un effet relativiste du changement de référentiel.
On notera que
Si on combine les exemples 2 et 3, on obtient les transformations d'un champ électro-magnétique :
La transformation d'un référentiel à l'autre de ce quadrivecteur explique les deux effets suivants :
si on a une particule de masse m1 qui vient percuter une particule de masse m2, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :
La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m1,
m2 et Ec1. On constate que la masse du tout mt n'est pas la somme des masses m1 et m2, alors que ce serait le cas classiquement.
L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :
Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle
Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :
C'est un article concernant le Calculs relativistes. La page contient la signification du Calculs relativistes , Description et explication au sujet de Calculs relativistes Les transformations de Lorentz
avec
et
Indiquons également les transformations inverses qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R'. Il suffit de changer le signe de la vitesse :
On a donc :
Et inversement :
Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.
Vous pouvez constater que si vous remplacez x' et t' par leurs expressions données au dessus en fonction de x et t, vous obtenez x = x et t = t ce qui signifie que les formules ci-dessus sont inverses l'une de l'autre; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe, la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz. On verra dans le paragraphe relatif à la composition des vitesses une utilisation du groupe de LorentzLa pseudonorme
ceci est appelé la pseudo - norme du quadrivecteur position d'un événement repéré dans l'espace temps à 4 dimensions : noter que cette quantité ne dépend pas du référentiel et constitue donc un invariant.La dilatation des durées
En simplifiant et en posant la durée au repos, et la durée observée dans le référentiel , nous obtenons la formule de dilatation des durées :
Ainsi, un observateur dans le référentiel voit l'horloge du référentiel fonctionner plus lentement.La contraction des longueurs
Déterminons pour que ces évènements soient simultanés dans , il faut que :
La longueur de la règle, observée dans le référentiel s'exprime :
Ainsi, la règle est plus courte dans le référentiel que dans le référentiel : la règle M1M2 en mouvement est plus courte lorsque la mesure de sa longueur est faite dans un référentiel dans lequel M1M2 est en mouvement.Le voyage dans le futur des autres
Ou le paradoxe des jumeaux :
On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe est soulevé si, en se plaçant du point de vue de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.
B se situe dans un référentiel inertiel et n'en change pas.
Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel se déplaçant à la vitesse v par rapport à , puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel se déplaçant à la vitesse -v par rapport à .
On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de
(a.l. signifie année lumière ou distance parcourue par la lumière en un an )
Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.
Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T1 = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
au ralenti (deux fois moins vite)
...
...
Il se rapproche de B et visionne la vie de B
en accéléré (deux fois plus vite)
...
...
au ralenti (deux fois moins vite)
...
...
Il se rapproche de B et B visionne sa vie
en accéléré (deux fois plus vite)
Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique. Il suffit de supposer qu'au lieu de s'envoyer des messages électro-magnétiques, A et B s'envoie des messages sonores à intervalle régulier. Nous supposerons que le milieu dans lequel se déplacent ces ondes sonores coïncide avec le référentiel de B. Le facteur de l' effet Doppler demeure, mais au sens classique.
Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an (sic), A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
La composition des vitesses
Nous savons dans la vie quotidienne que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro, et je marche à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste. Nous supposerons dans ce paragraphe que tous les déplacements se font parallèlement à un même axe.Cas galiléen
Les transformations de Galilée sont :
en différenciant, on obtient:
le quotient donne : , avec et , ce qui est la loi de composition classique.Cas relativiste
Les transformations de Lorentz sont :
en différenciant, on obtient:
le quotient donne :
Soit: la loi de composition relativiste. On notera que, si u' = c, alors on obtient u = c. La vitesse de la lumière est la même dans les deux référentiels.Utilisation du groupe de Lorentz
Soit L(v) la matrice
avec et .
Cette matrice, appliquée aux composantes dans un référentiel donne les composantes dans le référentiel par rapport auquel se déplace avec une vitesse v :
Si on dispose d'un référentiel se déplaçant par rapport au référentiel à la vitesse u', alors les relations entre les composantes dans le référentiel et les composantes dans le référentiel sont données par :
On a donc :
La matrice produit n'est autre que la matrice , où u est la vitesse du référentiel par rapport au référentiel . On vérifiera que , et donc que
, comme plus haut.Le quadrivecteur vitesse
Transformation des vitesses
On peut calculer une vitesse en formant le rapport d'une distance par un temps :
Ce sont les transformations sur les vitesses et l'on constate que les vitesses ne s'ajoutent pas : il ne faut pas appeler ces relations en utilisant le mot 'addition'
on constate que :
avec .Temps propre
En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension une longueur (que nous appelons longueur propre) :
Nous définissons le temps propre de la manière suivante :
Nous obtenons :
est l'accroissement de temps mesuré dans un référentiel en mouvement avec une vitesse V par rapport à un référentiel dans lequel l'accroissement de temps est dt. La quantité ne dépend pas du référentiel choisi. C'est un invariant relativiste.
Nous définissons alors naturellement la quadrivitesse :
La dynamique relativiste
Le quadrivecteur accélération
De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :
avec La transformation des accélérations
La transformation de Lorentz appliquée sur le quadrivecteur accélération dans un référentiel permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel , et de calculer explicitement les composantes de l'accélération. Notons la ième composante dans le référentiel et notons-la dans le repère . On obtient, en notant v la vitesse de par rapport à :
Le mouvement uniformément accéléré
Considérons un référentiel inertiel . Supposons que M, particule de masse m0, se déplace sous l'effet d'une force constante F parallèle à et que, pour t = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à , sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique galiléenne ?
Au fur et à mesure que V augmente et se rapproche de c, l'accélération de la particule dans le référentiel diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante.
L'intégration de l'équation donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :
On constate que V tend vers c lorsque t tend vers l'infini. Par ailleurs, pour t proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse x du point mobile M :
Pour t proche de 0, on retrouve l'expression de la mécanique galiléenne.La masse relativiste
Si, dans l'étude du paragraphe précédent, on souhaite que la loi reste valide, il faut, puisque dV/dt n'est pas constant, que m ne le soit pas non plus. F étant constante, on a nécessairement mV = Ft avec, comme on l'a vu :
ce qui donne :
On obtient alors :
Ainsi, lorsque V augmente, on est amené à attribuer une masse m en mouvement de plus en plus importante, afin que la loi fondamentale de la dynamique reste valide.E = mc2
Toujours dans le cadre de l'étude précédente, la particule M voit son énergie varier avec la puissance suivante :
or :
d'où, après simplication :
ce qui conduit à la formule la plus célèbre de la physique :
qui donne pour les petites vitesses. On retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique.Les forces
Le quadrivecteur énergie impulsion
Si on calcule la pseudo norme, on obtient:
La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc événement par exemple.
où E est l'énergie associée à la particule en mouvement. La relation précédente est en effet équivalente à :
conformément à la relation d'Einstein mise en évidence dans le paragraphe précédent. On rappelle que :
Le quadrivecteur force et la transformation des forces
Soit une particule de masse m0, se déplaçant à la vitesse par rapport à un référentiel inertiel . On peut, comme en mécanique classique, définir la force à laquelle est soumise cette particule si sa quantité de mouvement varie, par :
avec , et sa variation d'énergie par :
Mais pour passer d'un référentiel à l'autre, il vaut mieux utiliser le quadrivecteur force défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :
L'application d'une transformation de Lorentz à ce quadrivecteur permet de savoir comment une force se transforme d'un référentiel à l'autre.
avec et .Exemple 1 : chute libre
Considérons une particule de masse m0 située en t = 0 en O et se déplaçant à la vitesse v selon l'axe . On lui applique une force constante F = m0g selon l'axe . En mécanique galiléenne, sa trajectoire est une parabole. Qu'en est-il en mécanique relativiste ?
d'où :
La résolution de ce système conduit à :
et l'intégration de ces deux relations donnent les coordonnées x et y de la particule à l'instant t :
où sinh-1 est la réciproque du sinus hyperbolique. Si on exprime y en fonction de x, on obtient :
qui est l'équation d'une chaînette et non plus d'une parabole.Exemple 2 : champ électrique
On considère dans le référentiel un champ électrique , et une particule de charge q, se déplaçant dans ce champ. Celle-ci est soumise à une force . Qu'en est-il dans le référentiel en déplacement à la vitesse v parallèle à par rapport à ?
avec et , on en déduit que :
La force est de la forme :
avec champ électrique de composantes et champ magnétique de composantes Exemple 3 : champ magnétique
On considère maintenant la même particule, mais dans un champ magnétique . La force à laquelle la particule est soumise est cette fois :
Les composantes de cette force sont :
En opérant comme dans le paragraphe précédent, on trouve les composantes de la force dans le
référentiel :
La force est de la forme :
avec ici champ électrique de composantes et champ magnétique de composantes
.
ou encore, en désignant par et les composantes des champs parallèles au sens du déplacement du référentiel , et par
et les composantes orthogonales :
Optique relativiste
On utilise en optique relativiste les quadrivecteurs de la forme , où ω est la pulsation de l'onde, et le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation de l'onde et de module ω/c. Ce quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur
énergie-impulsion pour une particule, multiplié par la constante de Planck . En effet, la dualité onde-particule attribue à une onde une énergie , et une quantité de mouvement dont le module est .Les chocs aux hautes énergies
La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes à vide de plusieurs kilomètres en forme d'anneau dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube.
Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.Référentiels particuliers
On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL
et le référentiel où le tout est immobile dit à tort du centre de masse SCM
Exemple
On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec:
ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile:
où est l'énergie cinétique de la particule 1.Le défaut de masse
Dans l'exemple précédent, mt était supérieur à la somme des masses m1 et m2. A l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie: elle est exoénergétique. Les lois de l'électromagnétisme
La force de Lorentz s'écrit :
Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.
On pose comme quadri-vecteur courant . En effet, soit ρ0 la densité de charge dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse par rapport à un référentiel . Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de , le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur lorsqu'il est observé depuis le référentiel , et donc la densité de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ0. Par ailleurs, la densité de courant est , de sorte que :
On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel à un référentiel .
De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :
On définit le quadri-potentiel électromagnétique :
Les transformations des composantes du champ électromagnétique s'écrivent :
Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :
Les équations (2) et (3) s'écrivent :
Autres ébauches
Voir aussi