Un raisonnement est dit correct ou incorrect, concluant ou non-concluant, valide ou invalide, etc. Il est important de distinguer la validité ou l'invalidité d'un raisonnement de la vérité ou de la fausseté des propositions, qui renvoient à un contenu. Vérité et fausseté sont notées : V et F ; validité et invalidité : 1 et 0.

À partir de cette distinction, on peut définir la logique comme la discipline qui traite de manière stricte de la validité ou de l'invalidité des raisonnements.

Les énoncés sont simples ou complexes.

Comme la plupart des théories logico-mathématiques, il est possible de considérer le calcul des propositions d'un point de vue syntaxique ou sémantique :

• aspects syntaxiques : ensemble de signes agencés conventionnellement et non interprétés. C'est ce que l'on écrit, la langue objet ;
• sémantique : l'énoncé lui-même en tant qu'on lui rapporte un contenu : par exemple : ~ = non. C'est la métalangue, langue de l'observateur.

Vocabulaire fondamental

• valeur : qualifications rapportables aux propositions (0,1) ;
• logique bivalente : logique qui admet deux valeurs rapportables aux propositions ;
• logique monovalente : il n'y a qu'une valeur, tout est vrai ou tout est faux ;
• logique plurivalente : logique à plus de deux valeurs ;

• proposition : une proposition, en calcul des propositions, est un énoncé déclaratif auquel on peut attribuer en droit, sans rien y ajouter, la qualification vrai ou la qualification faux ; et par extension, une qualification pensée comme du même ordre que vrai et faux ;
• proposition atomique : une proposition non décomposable en proposition, par exemple : il pleut ;
• proposition moléculaire : proposition décomposable, par exemple : il pleut et il fait froid ;
• molécule :
  • mono atomique : qui ne contient qu'un seul atome (il ne pleut pas, par exemple) ;
  • pluri atomique : qui contient plusieurs atome.

• fonction de vérité : toute molécule pour laquelle il suffit de connaître la valeur des atomes constituant pour déterminer la sienne. Exemple : non p (~p) ;
• opérateur propositionnel : locution qui, complétée par une ou plusieurs propositions selon sa nature, forme encore une proposition (~,. par exemple);
• opérande ; ce sur quoi porte un opérateur (p, q, etc.) ;
• argument d'une fonction :
• foncteur : opérateur introduisant une fonction de vérité (et, non, etc.).

Dénombrement des fonctions de vérité

Pour dénombrer des foncteurs, il faut connaître :

• la valence de la logique ; (1, 2, 3, etc. valeurs) ;
• le nombre de variable d'un foncteurs ;

Foncteurs unaires

Il existe quatre foncteurs unaires en logique bivalente :

• associativité : si et seulement si ((pxq)xm)≡(px(qxm)).
• commutativité : si et seulement si (pxq)≡(qxp).
• transitivité : si et seulement si ((pxq)∧(qxm))⊃(pxm).
• réflexivité : si et seulement si pxp.
• idempotence
• dualité
• distributivité

Le problème de l'implication

On a le système prototype ∧,~,∨ (et, non, ou), fonctionnellement complet ; pour ∧,~, on remplace le « ∨ » :

• (p∨q)=df ~(~p∧~q)
  

• (p≡q)=df ((p∧q)∨(~p∧~q))
• soit : (p≡q)=df ~(~(p∧q)∧~(~p∧~q))

Méthodes de notation

Il existe plusieurs systèmes de notation. Le logicien polonais Lukasiewicz a conçu un système préfixé, qui permet l'économie des parenthèses :

• Exemples de notation :
  • N pour le « non » ¬
  • C pour l'implication ⊃
  • A pour pour le « ou »
  • E pour l'équivalence

• CpAqm : p⊃(qvm)
• ACpqm : (p⊃q)vm

Méthode pour faire un calcul

• Point de départ : un énoncé d'un raisonnement
• Transcription en langage symbolique
• Application d'un algorithme
• Conclusion : valide ou invalide

• exemple : Si Dieu existe, il est bon et il a crée un monde juste ; mais le monde est injuste, donc Dieu n'existe pas.
  • p : Dieu existe
  • q : Dieu est bon
  • r : Dieu a crée le monde
  • s : le monde est juste

• transcription : ((p⊃(q∧r∧s))∧¬s)⊃¬p

• conclusion : il y a plusieurs méthodes d'évaluation. En voici une première :

Au final, la formule est invalide quand la valeur de p = 1, la valeur de s = 0, et, dans ce cas, indépendamment des valeurs de q et r.

Voir aussi