Calcul d'erreur Article, Signification, Explication
Le calcul d'erreur, ou calcul d'incertitudes est un ensemble de techniques permettant d'estimer l'erreur faite sur un résultat numérique, à partir des incertitudes ou des erreurs faites sur les mesures qui ont conduit à ce résultat. Ceci permet donc d'estimer la propagation des erreurs.
L'erreur de mesure détermine la sensibilité (capacité à sélectionner les bons « candidats ») et la sélectivité (capacité à éliminer les mauvais « candidats ») d'une méthode.
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2 Propagation de l'erreur 3 Utilisation des différentielles totale exacte 4 Voir aussi 5 Liens externes |
Il faut considérer trois sources d'erreur (uncertainty en anglais) :
Sur un appareil analogique, la première limitation est la distance séparant les graduations ; on peut améliorer ceci avec un vernier, comme sur un pied à coulisse ou certains goniomètres, ou bien avec une vis micrométrique comme sur un Palmer. Sur un appareil numérique, cette précision est donnée par le nombre de chiffres de l'affichage.
Lorsque l'on utilise des publications très anciennes pour évaluer un événement non reproductible (l'objet a disparu ou s'est altéré, ou bien il s'agit d'un événement unique), on doit parfois avoir recours à une échelle empirique, comme par exemple l'échelle de Mercalli ou de Rossi-Forel pour les séismes ou l'échelle de Mohs pour la dureté d'un matériau, l'évaluation de Δ1 devient alors difficile ; cela n'est possible que si l'on peut établir une correspondance avec une échelle « moderne » basée sur une mesure physique. Par exemple, on essaie d'établir une correspondance entre les dégâts d'un séisme décrits dans des écrits antiques et l'énergie des ondes sismiques.
De même, lorsque la mesure consiste à classifier un phénomène dans une catégorie (cas par exemple d'un sondage d'opinion ou du recensement des pathologies), il n'est pas possible de définir Δ1.
Si l'on mesure plusieurs fois le même phénomène avec un appareil suffisamment précis, on obtiendra chaque fois un résultat différent xi. Ceci est dû à des phénomènes perturbateurs ou, pour les mesures extrêmement précises, à la nature aléatoire du phénomène (chaos, incertitude quantique).
Parmi les phénomènes perturbateurs, on peut dénombrer :
Erreur de mesure
l'erreur totale étant
Si l'on fait la comparaison avec des flèches que l'on tire sur une cible :
Métaphore de l'incertitude de mesure : a) la dispersion statistique et l'erreur systématique sont faibles ; b) la dispersion statistique est forte mais l'erreur systématique est faible ; c) la dispersion statistique est faible mais l'erreur systématique est forte.Précision de mesure
Mais il se peut que le phénomène soit instable ou bien perturbé par un phénomène extérieur aléatoire. Alors, on verra l'aiguille osciller ou bien les derniers chiffres de l'affichage numérique changer. Ceci réduit la précision de mesure, on ne peut considérer que la partie stable du nombre obtenu.Dispersion statistique
Sur un grand nombre de mesures, on peut considérer que l'on a une probabilité dont la distribution est gaussienne. Le résultat de la mesure sera alors la moyenne empirique Ê des résultats
le carré de l'écart type σ² de la gaussienne peut s'évaluer avec la variance empirique corrigée :
L'erreur due à la dispersion statistique est alors estimée par
le chiffre 3 étant une constante statistique correspondant à un intervalle de confiance de 99,73 %, c'est-à -dire que 99,73 % des valeurs xi sont comprises entre Ê - Δx et Ê + Δx. Si l'on a peu d'échantillons, il faut utiliser un coefficient plus grand pour prendre en compte l'erreur faite sur la détermination de Ê et de (voir la loi statistique de Student). On peut aussi volontairement choisir un intervalle de confiance plus grand ou plus petit, et donc prendre un coefficient plus grand ou plus petit. À titre d'exemple :
| intervalle de confiance | 5 mesures | 10 mesures | 20 mesures | > 100 mesures
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|---|---|---|---|---|
| 50 % | 1,5·σ | |||
| 90 % | 4·σ | 3·σ | 2,5·σ | 1,7·σ |
| 95 % | 2,6·σ | 2,3·σ | 2,1·σ | 2·σ |
| 99 % | 2,6·σ |
Note : les valeurs sont arrondies
Sur une gaussienne, la largeur à mi-hauteur (full width at half maximum, FWHM) représente un intervalle de confiance d'environ 67 % (soit 2/3) pour un grand nombre de mesures.
Dans le cas de mesures physiques ou chimiques, l'évaluation de la dispersion statistique se fait par des mesures de répétabilité et de reproductibilité, et éventuellement par des mesures croisées inter-laboratoires :
- répétabilité : on mesure plusieurs fois le même échantillon, et l'on relève les résultats ; ceci permet d'évaluer la stabilité dans le temps de l'appareil et de l'échantillon (vieillissement dans l'appareil ou hors de l'appareil) ;
- reproductibilité : on mesure plusieurs fois le même matériau ou phénomène ; la différence avec la répétabilité est que l'on reprépare à chaque fois la mesure (par exemple prélèvement de l'échantillon et conditionnement pour la mesure, ou bien mise en place de l'appareil de mesure et réglage préalable) et que ceci est fait par différentes personnes ; ceci permet de prendre en compte la totalité de la chaîne de mesure et les erreurs humaines ;
- essais croisés inter-laboratoires : un échantillon inconnu est envoyé à plusieurs laboratoires et l'on compare les résultats, on prend ainsi en compte la diversité des appareils de mesure et les habitudes de travail.
L'erreur systématique comprend des phénomènes comme l'erreur d'échantillonnage, l'erreur de préparation ; ces problèmes peuvent introduire une dispersion statistique (cf. ci-dessus) ou bien un décalage des résultats si l'erreur commise est toujours la même.
Les appareils dérivent avec le temps, ce qui rend nécessaire leur ré-étalonnage régulier. On peut avoir une très faible dispersion statistique, et avoir toutefois un résultat faux...
On peut aussi tout simplement... mesurer un paramètre qui ne représente pas de manière pertinente ce que l'on veut évaluer. Par exemple, en économie, le produit intérieur brut par habitant est un mauvais estimateur du développement d'un peuple. Dans un sondage d'opinion, la question peut orienter la réponse.
Le résultat d'une mesure est fréquemment utilisé pour faire des calculs. Par exemple, dans le cas d'un radar routier (cinémomètre) on mesure un décalage de fréquence et ce décalage est utilisé pour calculer la vitesse du véhicule, avec la loi de Doppler-Fizeau. Il faut donc, à partir de l'erreur commise sur la mesure du décalage de fréquence, estimer l'erreur sur la vitesse.
D'une manière générale, on mesure une valeur x, et l'on calcule une valeur y = ƒ(x) ; on veut estimer Δy à partir de Δx.
C'est le problème de la propagation de l'erreur.
La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'erreur. Si la mesure a pour valeur
Cette méthode n'est valable que si la loi est uniforme (c'est-à -dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle [a-Δa;a+Δa].
Une manière simple, utilisée fréquemment en physique, consiste à utiliser un développement limité du premier ordre, c'est-à -dire à remplacer la loi ƒ par sa « tangente » pour estimer l'erreur. On estime ainsi l'erreur avec une loi uniforme (linéaire) et simple.
On a :
Autres exemples simples :
rappel:
C'est un article concernant le Calcul d'erreur. La page contient la signification du Calcul d'erreur , Description et explication au sujet de Calcul d'erreur Erreur systématique
Propagation de l'erreur
Report des extrêmes dans le calcul
alors la « valeur réelle » est supposée être dans l'intervalle [a-Δa;a+Δa]. On calcule donc
et, selon l'ordre de y1 et de y2, on prend [y1;y2] ou [y2;y1] comme intervalle d'erreur.Estimation à partir de la dérivée
où o(x) est une fonction qui « tend vite » vers 0. Si l'on remplace x par a + Δa, on a alors
On peut donc estimer
Cette erreur est sous-estimée si l'on a une loi convexe.Utilisation des différentielles totale exacte
Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un cerain nombre de grandeurs mesurables:exprime la pression en fonction de n,R,T et V.
écrivons sa différentielle:
peut s'écrire
que l'on approxime par
noter que
= dérivée partielle par rapport à xVoir aussi
Liens externes