Axiomes des probabilités Article, Signification, Explication

Commençons par donner une définition simple d'une probabilité. Considérons une expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire), et Ω l'univers associée à cette expérience (ensemble de tous les résultats possibles).

Une probabilité est une application qui à un événement quelconque lié à l'expérience aléatoire associe un nombre réel (noté ), de telle manière que satisfasse les axiomes de Kolmogorov :

Premier axiome

Pour tout événement :

C'est-à-dire, que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

P (Ω) = 1.

C'est-à-dire, que la probabilité de l'événement certain ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'événements deux à deux disjoints, , satisfait:

.

C'est-à-dire, que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe de sous-ensembles est égale à la somme des probabilités de ces sous-ensembles. Ceci s'appelle l'σ-additivité. Si les sous-ensembles ne sont pas deux à deux disjoints cette relation n'est plus nécessairement vraie.

Ces axiomes sont connus comme étant les axiomes de Kolmogorov, du nom de Andrei Kolmogorov qui les a développés.

D'une manière plus théorique, une probabilité peut être interprétée comme une mesure sur une σ-algèbre ou tribu de sous-ensembles d'un univers Ω (ces sous-ensembles étant les événements), telle que la mesure de l'univers soit égale à 1.

Cette propriété est importante, puisqu'elle nous amène naturellement au concept de probabilité conditionnelle. Tout ensemble A de probabilité non nulle définit une autre probabilité sur l'univers:

pour tout événement B de ,

se note aussi  et habituellement  se lit «la probablité conditionnelle de B sachant A» ou «la probablité de B sachant que A s'est réalisé».

Propriétés d'une probabilité

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

si A et B sont incompatibles alors

pour tous événements A et B,

Ce qui signifie, que la probabilité pour que l'un des événement A ou B se réalisent est égale à la somme des probabilités pour que A se réalise, et pour que B se réalise moins la probabilité pour que A et B se réalisent simultanément.

pour tout événement A,

Ce qui signifie, que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise.

Cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement.

si ,

Ce qui signifie que lorsque la réalisation de A entraine celle de B, la probabilité que B se réalise, mais pas A est égale la différence .

Voir aussi

Probabilité conditionnelle

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