Axiome de la borne supérieure Article, Signification, Explication

Soit ( E , ≤ ) un ensemble ordonné.

( E , ≤ ) vérifie l'axiome de la borne supérieure ssi toute partie de E non vide et majorée possède une borne supérieure.

Par exemple, l'ensemble ordonné des nombres réels vérifie cet axiome  ( ce dernier fait partie de la définition de ) .

En revanche, l'ensemble ordonné des nombres rationnels ne le vérifie pas. Montrons le, à l'aide d'un contre-exemple  :

Prenons l'exemple suivant  :  considérons « l'ensemble F des nombres rationnels compris entre et » .

F est une partie non vide de ( elle contient , par exemple ) et est majorée dans ( par , par exemple ).

Montrons que F n'en admet pas pour autant une borne supérieure dans .

Raisonnons par l'absurde  :  supposons que F admette une borne supérieure dans .

Par définition de F, sa borne supérieure dans est  ( qui est un nombre irrationnel ).

L'ordre sur étant la restriction de l'ordre sur , est un majorant rationnel de F dans donc.

Or étant dense dans , il existe donc un rationnel strictement compris entre et , d'où.

Ainsi est un majorant rationnel de F, dans , donc un majorant de F dans , avec .

Mais est la borne supérieure de F dans donc . Les deux dernières inégalités aboutissent à une contradiction.

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