Analyse non standard Article, Signification, Explication
Leibniz utilisait en analyse des infiniment petits sur l'existence desquels il s'interrogeait. Il fallut attendre Abraham Robinson pour définir les infiniments petits par une ultra-puissance de . Il introduisit dans les années 60 une nouvelle théorie appelée analyse non standard. Peu après, Nelson fournit une présentation de l'analyse non standard plus abordable, basée sur l'axiomatique Zermelo-Fraenkel à laquelle est ajouté un nouveau prédicat : le prédicat standard. Le comportement de ce nouveau prédicat est basé sur 3 axiomes nouveaux :
- l'Idéalité
- Standard
- le Transfert
Le sens du qualificatif standard donné par ces axiomes est celui d'objet appartenant à l'horizon perceptible, non standard comme étant au-delà de l'horizon perceptible. Un ensemble peut donc être standard ou non standard (on dit aussi charmé), il ne peut être les deux.
Il y a deux types d'applications :
Soit R(x,y) une relation classique (une relation classique est une relation ne faisant pas intervenir le nouveau prédicat « standard » dans son énoncé. Il s'agit donc d'une relation usuelle de nos mathématiques de tous les jours). L'axiome d'idéalisation affirme que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
Nous voulons montrer que : il existe x entier, tel que, pour tout y standard entier, x > y. Soit donc R(x,y) défini par : x est entier et y est entier et x > y.
La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifié : si F est fini (standard ou non d'ailleurs), il existe bien un entier x supérieur aux entiers y éléments de F. Par conséquent, l'axiome d'idéalisation énonce que la proposition 2 est aussi vérifiée et celle-ci correspond à notre énoncé.
Il existe donc un entier x supérieur à tous les nombres entiers standard. Cet entier sera donc non standard, sinon, il serait supérieur à lui-même. Nous venons donc de montrer qu'il existe au moins un entier non standard. Les entiers supérieurs à x sont a fortiori non standard, sinon, x leur serait supérieur. Pour cette raison, dans l'ensemble des entiers, les entiers non standard sont également qualifiés d'inaccessibles, ou d'illimités, ou d'infiniment grands. Le terme « illimité » est peut-être mal choisi. Il pourrait faire croire que de tels entiers sont infinis. Mais tous les entiers sont finis ! Nous préférons donc le terme d'inaccessible ou d'infiniment grand.
L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément charmé (ou non-standard) x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E.
On en déduit la propriété suivante :
Soit E un ensemble infini.
E - {x} est aussi un ensemble infini et je puis à nouveau appliquer le raisonnement ci-dessus. Je peux aussi renouveler cette opération un nombre infini de fois.
Si l'on considère que cette opération épuise les éléments de l'ensemble, nous arrivons à la conclusion (1) que l'ensemble est fini, ce qui est une contradiction. Si on considère que l'on n'épuise pas les éléments de l'ensemble, nous arrivons à la conclusion que :
Tout ensemble infini possède une infinité d'éléments non standard.
Ce théorème énonce que, si E est un ensemble, il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E. Les éléments standard d'un ensemble sont donc en nombre fini. On définit pour cela la relation R(X,y) suivante : X est inclus dans E, X est fini et si y est élément de E, alors y est élément de X.
La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifée pour toute partie finie F (standard ou non d'ailleurs) en prenant X l'intersection de F et E. Par conséquent, la proposition 2 de l'axiome d'idéalisation permet de valider le théorème de Nelson.
On notera que la partie X donnée par l'axiome est une partie interne ou classique. Elle ne se limite pas nécessairement aux seuls éléments standard de E, car, a priori, l'ensemble des éléments standard, défini à partir de la relation non classique « être standard » est un ensemble externe, c'est-à -dire étrangère aux mathématiques usuelles. Ainsi, dans les entiers, un ensemble X contenant tous les entiers standard est de la forme {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard, et cet ensemble contient aussi des entiers non standard.
Dès que tous les paramètres d'une valeur classique F ont des valeurs standard
Autrement dit, pour vérifier qu'une formule usuelle dépendant de paramètres standard est vraie pour tout x, il suffit de la vérifier pour tout x standard. Intuitivement, nous ne pouvons accéder qu'aux éléments standard, et ceux sont eux qui nous permettront de vérifier une formule classique. Cet axiome peut aussi s'exprimer (par négation) :
Si une propriété classique est vraie pour un x, alors elle est vraie pour un x standard. En voici quelques conséquences. La plus importante est le fait que si un objet mathématique est défini de façon classique de manière unique à partir d'objets standard, il est nécessairement standard. C'est donc le cas de pour n standard. De même, si E et F sont des ensembles standard, il en est de même leur intersection, leur réunion, leur produit, de l'ensemble des applications de E dans F, de l'ensemble des parties de E. Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b, etc. Si n est standard, il en est de même de n+1 ou de In = {1, ..., n}. Si A est une partie standard de bornée, Sup A et Inf A sont standard. Si f est une fonction standard (c'est à dire définie sur des ensembles standard et de graphe standard), alors l'image d'un élément standard est standard.
Enfin, cet axiome permet de montrer que, pour voir que deux ensembles standard sont égaux, il suffit de vérifier qu'ils possèdent les mêmes éléments standard. Ainsi, la seule partie standard de contenant tous les entiers standard est lui-même. Par contre, il existe des parties non standard contenant tous les entiers standard, à savoir les parties {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard.
Soit E un ensemble standard, soit P une propriété quelconque, faisant ou non intervenir le postulat « standard ». Alors :
Cet axiome ne présente d'intérêt que si la propriété P est non classique (elle utilise le postulat « standard »). À n'est autre qu'un ensemble standard dont les éléments standard sont les éléments standard de E vérifiant la propriété P. Il se peut que A possède d'autres éléments, mais ils seront non standard. Par ailleurs, un ensemble standard étant défini de maniére unique par ces éléments standard, il en résulte que A est unique. On l'appelle le standardisé de l'ensemble non classique (ou externe) {x élément de E | P(x)}. L'interprétation intuitive qu'on peut donner à cet axiome est le suivant : l'ensemble non classique {x élément de E | P(x)} ne nous est pas directement accessible. Nous ne pouvons concevoir que son standardisé. À noter que, si la propriété P utilise le postulat « standard », cette propriété est étrangère à l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel (puisque le mot « standard » ne fait pas partie de cette axiomatique), et donc que l'ensemble {x élément de E | P(x)} n'est pas un ensemble au sens de Zermelo-Fraenkel. C'est pourquoi nous le qualifions d'ensemble externe.
Par exemple, considérons E = , et P(x) la propriété x est standard. L'ensemble {x élément de E | P(x)} est l'ensemble (externe) des éléments standard. Son standardisé est un ensemble standard contenant tous les éléments standard de . Nous avons déjà vu qu'il s'agissait de lui-même.
Considérons maintenant E = , et P(x) la propriété x est non standard. L'ensemble {x élément de E | P(x)} est l'ensemble (externe) des éléments non standard. Son standardisé est l'ensemble vide.
En revanche, le prédicat standard étant non classique, l'axiome de récurrence ne s'y applique pas. Ainsi, 0 est standard ; si n est standard, n + 1 aussi. Cependant, il existe des entiers non standard supérieurs à tous les entiers standard. De tels entiers non standard sont appelés infiniment grand.
Tout entier standard est inférieur à tout entier non standard. Si n est non standard, il en de même des éléments supérieurs à n et de n – 1. On peut voir comme suit :
Si P est une propriété quelconque, on montre que vérifie le principe de récurrence restreint suivant :
Si n est un entier infiniment grand, alors 1/n est infiniment petit.
On montre également que, pour chaque réel limité x, il existe un unique réel °x standard tel que la différence x – °x soit infinitésimale. °x s'appelle partie standard de x.
Par exemple, 0,3333.....333 où le nombre de 3 est un entier infiniment grand est un réel limité non standard, dont la partie standard est 1/3.
Tout réel limité se décompose de manière unique sous la forme standard + infinitésimal.
Les réels infiniment proches d'un réel donné constitue le halo de ce réel.
Nous allons donner des propriétés non classiques des suites, qui, dans le cas des suites standard, coïncideront avec des propriétés usuelles.
Pour une suite standard , il y a équivalence entre :
Par transfert, on a alors :
Si on prend n infiniment grand, n est alors supérieur à N donc | - l | < ε, et cette inégalité étant vérifiée pour tout ε standard, on a bien ≈ l
Réciproquement, si, pour tout n infiniment grand, ≈ l avec l standard, alors :
Il suffit en effet de prendre N infiniment grand.
et par transfert :
ce qui est la définition de la convergence.
On notera bien que l'équivalence énoncée n'est valide que pour les suites standard. Si on définit en effet avec α infiniment petit, alors ≈ 0 pour tout n et pourtant la suite ne converge pas (mais cette suite n'est pas une suite standard).
Réciproquement, s'il existe n illimité tel que ≈ l, alors :
er par transfert :
ce qui exprime que l est valeur d'adhérence de la suite et dans ce cas, il existe bien une sous-suite de qui converge.
On en déduit le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui exprime, que, de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite qui converge. Par transfert, il suffit de montrer ce théorème sur les suites standard. Soit donc une suite standard bornée. Tous ses termes sont limités car, par transfert, on peut prendre un majorant et un minorant de standard. On prend alors n illimité et l = ° partie standard de . On applique alors l'équivalence montrée précédemment, la propriété 2 étant vérifiée.
Pour une suite standard, il y a équivalence entre :
Montrons que, dans , toute suite de Cauchy converge. Par transfert, il suffit de montrer cette propriété sur les suites standard. Soit une telle suite. Elle est bornée : en effet, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers standard, et tous les avec n illimités sont dans le même halo de l'un d'entre eux. Par transfert, la borne peut être choisie standard. Tous les termes de la suite sont donc limités. On prend alors l = ° partie standard de avec p illimité. Alors, pour tout n illimité, ≈ ≈ l, donc la suite converge vers l.
La continuité d'une fonction dans se définit plus simplement avec l'analyse non standard. Pour une fonction standard, il y a équivalence entre
On montre d'une façon comparable que f admet un maximum et un minimum.
Pour une fonction standard, il y a équivalence entre
Sur un segment [a,b], toute fonction continue f est uniformément continue. Par transfert, il suffit de montrer cette propriété pour f, a et b standard. Les éléments du segment sont alors tous limités, donc admettent tous une partie standard. Si x est élément de [a,b], °x sa partie standard et y infiniment petit, on a :
Pour une fonction standard f sur [a , b] = I standard , il y a équivalence entre
C'est un article concernant le Analyse non standard. La page contient la signification du Analyse non standard , Description et explication au sujet de Analyse non standard Intérêt de l'analyse non standard
Les axiomes
Axiome d'idéalisation
L'axiome signifie que, pour trouver un élément x qui vérifie une propriété relative à tous les éléments y standard, il faut et il suffit de trouver un tel x relatif aux éléments y de n'importe quel ensemble standard fini. Exemple 1 : Il existe un entier supérieur à tous les entiers standard
Exemple 2 : Tout ensemble infini possède un élément non standard
Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, nous trouvons un élément x noté appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini.
et par contraposition :Nombre d'éléments charmés dans un ensemble infini
Exemple 3 : Théorème de Nelson
Axiome de transfert
Axiome de standardisation
Les nombres en analyse non standard
Les entiers
Rappelons que nous qualifions d'internes ou classiques les propriétés ou les ensembles n'utilisant pas le mot « standard ». Nous appelons externes ou non classiques les propriétés ou les ensembles utilisant ce mot. Toutes les propriétés connues classiques restent valides en Analyse non standard. Ainsi, vérifie l'axiome de récurrence, pourvu que cet axiome soit appliqué à une propriété classique.
On ne peut parler du plus petit entier non standard, pas plus que nous ne pouvons parler du plus grand entier standard, car ces ensembles ne sont pas classiques, et on ne peut donc pas leur appliquer les propriétés classiques de . Les réels
On montre qu'on peut partitionner l'ensemble des réels en :
Par exemple :
0,000...01 est infiniment petit si le nombre de 0 est un entier infiniment grand. Ce nombre est alors infiniment proche de 0.Les suites en analyse non standard
Convergence d'une suite
En effet, si est standard et converge vers l, sa limite est standard (par transfert) et vérifie :Convergence d'une sous-suite
Pour une suite standard, il y a équivalence entre :
En effet, si l est limite d'une sous-suite de , alors l est standard par transfert, et pour tout ε > 0, il existe une infinité de n tel que | - l | < ε. Cette propriété est donc vraie pour ε infiniment petit, et comme elle est vérifiée par une infinité de n et qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers standard, il existe donc n infiniment grand tel que | - l | < ε. Mais comme ε est infiniment petit, cela signifie que ≈ l.Suite de Cauchy
La démonstration suit une démarche comparable à celles des paragraphes précédents. Les fonctions en analyse non standard
Continuité
On montre le théorème des valeurs intermédiaires de la façon suivante. Soit f continue sur un segment [a,b] avec f(a) < 0 et f(b) > 0. Alors il existe c entre a et b tel que f(c) = 0. En effet, par transfert, il suffit de montrer ce théorème pour f, a et b standard. Soit N un entier illimité et pour k entre 0 et N. Si K est le premier k pour lequel alors on prendra pour c la partie standard de . On a effet c infiniment proche de et de , de sorte que f(c) sera infiniment proche du réel positif ou nul et infiniment proche du réel négatif . Etant standard, f(c) est nul.Continuité uniforme
Par exemple, la fonction qui à x associe x2 est continue, puisque, si x est standard et y infiniment petit, on a :
Par contre, cette fonction n'est pas uniformément continue puisque, si x est infiniment grand et si y = 1/x, alors (x+y)2 = x2 + 2 + y2 qui n'est pas infiniment proche de x2.Dérivation
Pour une fonction standard définie sur un intervalle standard de , et pour x0 standard il y a équivalence entre :
Intégration
Notions diverses
Nous donnons ci-dessous des exemples d'équivalent en analyse non standard de notions de l'analyse classique, lorsqu'elles sont appliquées à des objets standard. Celles-ci ont pour but de montrer l'ampleur des domaines à explorer.Bibliographie
Voir aussi