Algorithme d'Euclide étendu Article, Signification, Explication

L'algorithme d'Euclide étendu est une version de l'algorithme d'Euclide; à partir de deux entiers a et b, l'algorithme calcule leur plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) ainsi que deux entiers x et y tels que ax + by = pgcd(a,b). L'algorithme d'Euclide permet d'obtenir de tels entiers parce qu'à chaque étape de l'algorithme, on n'a que des sommes de multiples de a et b.

L'équation ax + by = pgcd(a,b) est particulièrement utile quand a et b sont premiers entre eux : x est alors l'inverse pour la multiplication de a modulo b.

Considérons par exemple le calcul du pgcd(120,23) avec l'algorithme d'Euclide :

120 ÷ 23 = 5 reste 5
23  ÷ 5  = 4 reste 3
5   ÷ 3  = 1 reste 2
3   ÷ 2  = 1 reste 1
2   ÷ 1  = 2 reste 0

Dans ce cas, le reste obtenu à l'avant dernière ligne donne le P.G.C.D. égal à 1; c'est-à-dire que 120 et 23 sont premiers entre eux. Maintenant présentons autrement les divisions précédentes :

120 ÷ 23 = 5 reste 5   ⇒ 5 = 120 - 5×23
23  ÷ 5  = 4 reste 3   ⇒ 3 = 23  - 4×5
5   ÷ 3  = 1 reste 2   ⇒ 2 = 5   - 1×3
3   ÷ 2  = 1 reste 1   ⇒ 1 = 3   - 1×2
2   ÷ 1  = 2 reste 0   ⇒ 0 = 2   - 2×1

Observons que la première ligne contient des multiples de 120 et 23. Aussi, la valeur la plus à droite dans chaque ligne, est le reste de la ligne précédente, et le terme de gauche des différences est le reste obtenu deux lignes plus haut. Nous pouvons ainsi calculer progressivement chaque reste successif comme sommes de produits de nos deux valeurs initiales.

Ici nous récrivons les deuxièmes équations dans la table ci-dessus mentionnée:

 5 = 120 - 5×23  = 1×120            - 5×23
 3 = 23  - 4×5   = 1×23             - 4×(1×120  - 5×23)   =  -4×120 + 21×23
 2 = 5   - 1×3   = (1×120 - 5×23)   - 1×(-4×120 + 21×23)  =   5×120 - 26×23
 1 = 3   - 1×2   = (-4×120 + 21×23) - 1×(5×120  - 26×23)  =  -9×120 + 47×23

Remarquons que la dernière ligne donne 1 = -9×120 + 47×23, et nous fournit exactement ce que nous voulons : x = -9 et y = 47.

Ceci signifie que -9 est l'inverse pour la multiplication de 120 modulo 23, parce que 1 = -9 × 120 (mod 23).

Voici en Javascript l'implémentation de l'algorithme d'Euclide étendu qui devrait fonctionner dans la plupart des navigateurs :

// Ce programme ne fonctionne qu'avec des entiers naturels
// demande les données à l'utilisateur et convertit les chaînes de caractères en entiers
var a = parseInt(prompt("Entrer un entier naturel  a",0))
var b = parseInt(prompt("Entrer un entier naturel  b",0))

// On sauvegarde les valeurs de a et b.
a0 = a;
b0 = b;

// Initialisations. On laisse invariant p*a0 + q*b0 = a et  r*a0 + s*b0 = b.
p = 1; q = 0;
r = 0; s = 1;

// La boucle principale:
while (b != 0) { 
 c = a % b;
 quotient = Math.floor(a/b);  //Javascript n'a pas d'opération de division entière.
 a = b;
 b = c;
 nouveau_r = p - quotient * r; nouveau_s = q - quotient * s;
 p = r; q = s;
 r = nouveau_r; s = nouveau_s;
}

// Affiche le résultat.

alert("pgcd(" + a0 + "," + b0 + ")=" p + "*" + a0 + 
     "+(" + q + ")*" + b0 + "=" + a)

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Liens internes :

Identité de Bezout

Liens externes :

• Comment utiliser l'algorithme à la main (page en anglais) :

http://www.millersv.edu/~bikenaga/absalg/exteuc/exteucex.html

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